등차수열 합 절댓값

[출제의도] 등차수열의 합과 이차함수의 성질을 이용하여 문제를 해결한다. 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공차를 $d$($d$는 정수)라 하자. $T _{16} < T _{17}$, $T _{17} > T _{18}$이 성립하므로 $a _{17} > 0$, $a _{18} < 0$ $a _{17} = 50 + 16 d > 0$에서 $\displaystyle d > - \frac{25}{8}$ $a _{18} = 50 + 17 d < 0$에서 $\displaystyle d < - \frac{50}{17}$ 따라서 $\displaystyle - \frac{25}{8} < d < - \frac{50}{17}$이므로 $d = - 3$ ∴ $\displaystyle T _{n} = \left| \frac{n \left\{ 100 + ( n - 1 ) ( - 3 ) \right\}}{2} \right|$ $\displaystyle = \frac{\left| 3 n ^{2} - 103 n \right|}{2}$ 이때 $\displaystyle f ( x ) = \frac{| 3 x ^{2} - 103 x |}{2}$라 하면 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 다음과 같다.

$\displaystyle 34 < \frac{103}{3} < 35$이므로 $T _{n}$은 $n = 34$ 또는 $35$일 때 최솟값을 갖는다. $\displaystyle T _{34} = \frac{\left| 3 \times 34 ^{2} - 103 \times 34 \right|}{2} = 17$ $\displaystyle T _{35} = \frac{\left| 3 \times 35 ^{2} - 103 \times 35 \right|}{2} = 35$ 따라서 $T _{n} > T _{n + 1}$을 만족시키는 $n$은 $n = 17$, $18$, $19$, $\cdots$, $33$ 이므로 구하는 $n$의 최댓값은 $33$이다.