등차수열 합 절댓값

[출제의도] 등차수열의 합에 대한 성질을 이용하여 조건에 맞는 자연수를 추측한다. 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공차를 $d$라 하면 $\displaystyle T _{n} = \left| \frac{n \left\{ 120 + ( n - 1 ) d \right\}}{2} \right|$ $T _{20} = T _{21}$이므로 $\displaystyle \left| \frac{20 \left( 120 + 19 d \right)}{2} \right| = \left| \frac{21 \left( 120 + 20 d \right)}{2} \right|$ ⅰ) $\displaystyle \frac{20 \left( 120 + 19 d \right)}{2} = \frac{21 \left( 120 + 20 d \right)}{2}$일 때 $d = - 3$ 이때 조건 $T _{19} < T _{20}$이 성립한다. ⅱ) $\displaystyle \frac{20 \left( 120 + 19 d \right)}{2} = - \frac{21 \left( 120 + 20 d \right)}{2}$일 때 $\displaystyle d = - \frac{123}{20}$ 이때 조건$T _{19} < T _{20}$이 성립하지 않는다. 따라서 $\displaystyle T _{n} = \left| \frac{- 3 n ^{2} + 123 n}{2} \right|$이다. $\displaystyle f ( x ) = \left| \frac{- 3 x ^{2} + 123 x}{2} \right|$라 하면 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 다음과 같다.

위 그래프에서 $f ( 41 ) = 0$이므로 $T _{41} = 0$ 그러므로 $T _{21} > T _{22} > T _{23} > \cdots > T _{41} = 0$, $T _{41} < T _{42}$ 따라서 $T _{n} > T _{n + 1}$을 만족시키는 $n$의 값은 $21$, $22$, $23$, $\cdots$, $40$이다. 그러므로 최솟값과 최댓값의 합은 $21 + 40 = 61$