대수등차수열과 등비수열수능 기출기본 문제 (3점 중반)

등차수열 합 최소

문제

등차수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에서 a3=40a _{3} = 40, a8=30a _{8} = 30일 때, ∣a2+a4+⋯+a2n∣\left| a _{2} + a _{4} + \cdots + a _{2 n} \right|이 최소가 되는 자연수 nn의 값을 구하시오. [3점]

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2222

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해설

[출제의도] 등차수열 합의 최솟값 구하기 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에서 첫째항을 aa, 공차를 dd라 하면 a3=a+2d=40a _{3} = a + 2 d = 40, a8=a+7d=30a _{8} = a + 7 d = 30이고 a=44a = 44, d=−2d = - 2이므로 an=−2n+46a _{n} = - 2 n + 46이다. ∴ a2n=−4n+46a _{2 n} = - 4 n + 46 ∣a2+a4+⋯+a2n∣=∣−2n2+44n∣\left| a _{2} + a _{4} + \cdots + a _{2 n} \right| = \left| - 2 n ^{2} + 44 n \right| 따라서 최소가 되는 자연수 nn은 2222이다.

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#등차수열#합#최소

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