등차수열 합 최대

[출제의도] 등차수열의 일반항을 이해하고 등차수열의 합이 최대가 되는 항을 구한다. 등차수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항을 $a$, 공차를 $d$라 하면 $a _{3} = a + 2 d = 26$ $a _{9} = a + 8 d = 8$ $6 d = - 18$이므로 $d = - 3$, $a = 32$ 따라서 $a _{n} = 32 - 3 ( n - 1 ) = - 3 n + 35$ 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합이 최대가 되도록 하는 자연수 $n$은 $a _{n} = - 3 n + 35 > 0$을 만족시켜야 하므로 $\displaystyle n < \frac{35}{3}$ 따라서 구하는 자연수 $n$의 값은 $11$이다. [다른 풀이] 등차수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항을 $a$, 공차를 $d$라 하면 $d = - 3$, $a = 32$ 이므로 $\displaystyle S _{n} = \frac{n \left\{ 64 + ( n - 1 ) ( - 3 ) \right\}}{2}$ $\displaystyle = - \frac{3}{2} n ^{2} + \frac{67}{2} n$ $\displaystyle = - \frac{3}{2} \left( n - \frac{67}{6} \right) ^{2} + \frac{67 ^{2}}{24}$ 따라서 $\displaystyle \frac{67}{6}$에 가장 가까운 자연수는 $11$이므로 $n = 11$일 때 $S _{n}$은 최댓값을 갖는다.