등차수열 행 배열

[출제의도] 도형으로 정의된 수열의 규칙성을 파악하여 항의 수 추론하기 제$n$행의 좌변은 첫째항이 $a _{n}$, 공차가 $n$인 등차수열의 $( n + 1 )$개 항의 합이고, 우변은 첫째항이 $a _{n} + n ( n + 1 )$이고 공차가 $n$인 등차수열의 $n$개 항의 합이므로 $\begin{aligned} & a _{n} + ( a _{n} + n ) + ( a _{n} + 2 n ) + \cdots + ( a _{n} + n ^{2} ) \end{aligned}$ $\begin{aligned} = & \left\{ a _{n} + n ( n + 1 ) \right\} + \left\{ a _{n} + n ( n + 2 ) \right\} + \cdots \end{aligned}$$+ ( a _{n} + 2 n ^{2} )$ $\displaystyle \frac{( n + 1 ) \left( 2 a _{n} + n ^{2} \right)}{2} = \frac{n ( 2 a _{n} + 3 n ^{2} + n )}{2}$ $\therefore$$a _{n} = n ^{3}$ $\displaystyle \therefore \sum\limits _{k = 1} ^{5} a _{k} = \sum\limits _{k = 1} ^{5} k ^{3} = \left( \frac{5 \cdot 6}{2} \right) ^{2} = 225$ (참고) 제$1$행 $1 + 2 = 3$ 제$2$행 $8 + 10 + 12 = 14 + 16$ 제$3$행 $27 + 30 + 33 + 36 = 39 + 42 + 45$ $\vdots$