등차수열 관계식으로 수열의 항 구하기

공차가 $2$인 등차수열 $\left\{ b _{n} \right\}$에서 $b _{n} = 2 n + c$ ($c$는 상수)라 하면 $n \left( n + 1 \right) \left( 2 n + c \right)$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left( n - k + 1 \right) a _{k}$ $\left( n \geq 1 \right)$ 위의 등식에 $n = 1$을 대입하면 $2 \left( 2 + c \right) = a _{1}$ $n \geq 2$일 때 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left( n - k + 1 \right) a _{k} - \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \left( n - k \right) a _{k}$$= n \left( 6 n + 2 c - 2 \right)$ $\therefore$ $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{n} = n \left( 6 n + 2 c - 2 \right)$ 즉 $n \geq 3$일 때 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{n} - \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} a _{n} = 12 n + 2 c - 8$이므로 $a _{5} = 58$에서 $12 \times 5 + 2 c - 8 = 58$, $c = 3$ $\therefore$ $b _{n} = 2 n + 3$, $a _{n} = 12 n - 2$ $\left( n \geq 3 \right)$ $\therefore$ $a _{10}$$= 120 - 2$$= 118$