등차수열 곱의 역수 합

$\displaystyle \frac{1}{a _{1} \times b _{1}} = \sum\limits _{k = 1} ^{1} \frac{1}{a _{k} \times b _{k}} = \frac{1}{12}$ $n \geq 2$일 때 $\displaystyle \frac{1}{a _{n} \times b _{n}}$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{1}{a _{k} \times b _{k}} - \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \frac{1}{a _{k} \times b _{k}}$ $\displaystyle = \frac{n}{8 n + 4} - \frac{n - 1}{8 n - 4} = \frac{4}{\left( 8 n + 4 \right) \left( 8 n - 4 \right)}$ 그러므로 모든 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle \frac{1}{a _{n} \times b _{n}} = \frac{4}{\left( 8 n + 4 \right) \left( 8 n - 4 \right)}$ 두 등차수열 $\left\{ a _{n} \right\}$, $\left\{ b _{n} \right\}$의 공차가 같으므로 공차를 $d$라 하면 $a _{n} = a _{1} + \left( n - 1 \right) d$, $b _{n} = b _{1} + \left( n - 1 \right) d$ $a _{n} \times b _{n}$$= \left( dn + a _{1} - d \right) \left( dn + b _{1} - d \right)$ $\displaystyle = \frac{\left( 8 n + 4 \right) \left( 8 n - 4 \right)}{4} = \left( 4 n + 2 \right) \left( 4 n - 2 \right)$ 에서 두 등차수열 $\left\{ a _{n} \right\}$, $\left\{ b _{n} \right\}$의 모든 항이 자연수이므로 $a _{n} = 4 n + 2$, $b _{n} = 4 n - 2$ 또는 $a _{n} = 4 n - 2$, $b _{n} = 4 n + 2$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{5} \left( a _{k} + b _{k} \right) = \sum\limits _{k = 1} ^{5} 8 k = 8 \sum\limits _{k = 1} ^{5} k = 8 \times \frac{5 \times 6}{2} = 120$