등차수열 곱의 제곱근 증명

두 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$, $\left\{ b _{n} \right\}$이 모든 항이 양수인 등차수열일 때, 다음은 수열 $\displaystyle \left\{ \sqrt{a _{n} b _{n}} \right\}$이 등차수열이면 $\displaystyle \frac{b _{n}}{a _{n}} = \square {( \text{가} )}$ 임을 증명한 것이다. <증명> 수열 $\displaystyle \left\{ \sqrt{a _{n} b _{n}} \right\}$이 등차수열이므로 모든 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle \sqrt{a _{n} b _{n}} + \sqrt{a _{n + 2} b _{n + 2}} = \sqrt{\square {( \text{나} )}}$$\cdots \cdots \text{㉠}$ 또, 두 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$, $\left\{ b _{n} \right\}$이 등차수열이므로 $a _{n} + a _{n + 2} = 2 a _{n + 1}$ $\cdots \cdots \text{㉡}$ $b _{n} + b _{n + 2} = 2 b _{n + 1}$ $\cdots \cdots \text{㉢}$ ㉡, ㉢을 ㉠에 대입한 후, 양변을 제곱하여 정리하면 $\displaystyle 2 \sqrt{a _{n} b _{n} a _{n+2} b _{n+2}} = a _{n} b _{n+2} + a _{n+2} b _{n}$ 다시 위 식의 양변을 제곱하여 정리하면 $a _{n + 2} b _{n} = \square {( \text{다} )}$ $\cdots \cdots \text{㉣}$ 따라서 ㉡, ㉢, ㉣에서 $\displaystyle \frac{b _{n}}{a _{n}} = \square {( \text{가} )}$

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점] (가) (나) (다) ①$\displaystyle \frac{a _{n+1}}{b _{n+1}}$ $2 a _{n+1} b _{n+1}$ $2 a _{n} b _{n+2}$②$\displaystyle \frac{a _{n+1}}{b _{n+1}}$ $4 a _{n+1} b _{n+1}$ $a _{n} b _{n+2}$③$\displaystyle \frac{b _{n+1}}{a _{n+1}}$ $2 a _{n+1} b _{n+1}$ $2 a _{n} b _{n+2}$④$\displaystyle \frac{b _{n+1}}{a _{n+1}}$ $4 a _{n+1} b _{n+1}$ $a _{n} b _{n+2}$⑤$\displaystyle \frac{b _{n+1}}{a _{n+1}}$ $4 a _{n+1} b _{n+1}$ $2 a _{n} b _{n+2}$