등차수열 급수 조건

등차수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항을 $a$, 공차를 $d$라 하면 조건 (가)에 의하여 $\displaystyle \frac{a _{1} + a _{2} + a _{3} + \cdots + a _{2 n - 1} + a _{2 n}}{a _{1} + a _{2} + a _{3} + \cdots + a _{n - 1} + a _{n}} = p$($p$는 상수) 이고, $\displaystyle \frac{\frac{2 n \left\{ 2 a + ( 2 n - 1 ) d \right\}}{2}}{\frac{n \left\{ 2 a + ( n - 1 ) d \right\}}{2}} = p$ $4 a + 4 dn - 2 d = 2 ap + dnp - dp$ $\left( 4 d - dp \right) n + \left( 4 a - 2 d - 2 ap + dp \right) = 0$ $\cdots$(★) (★)이 자연수 $n$에 대한 항등식이므로 $4 d - dp = 0$, $4 a - 2 d - 2 ap + dp = 0$ $d \ne 0$이므로 $p = 4$, $d = 2 a$ $a _{n} = a + ( n - 1 ) \times 2 a = a ( 2 n - 1 )$ 조건 (나)에서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{2}{( 2 n + 1 ) a _{n}} = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{1}{a} \left( \frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n + 1} \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{a} \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 1} ^{n} \left( \frac{1}{2 k - 1} - \frac{1}{2 k + 1} \right)}$ $\displaystyle = \frac{1}{a}$ $\displaystyle \frac{1}{a} = \frac{1}{10}$이므로 $a = 10$, $d = 20$ 따라서 $a _{n} = 20 n - 10$이므로 $a _{10} = 190$