미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

등차·등비수열 급수

문제

공차가 양수인 등차수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}과 등비수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}에 대하여 a1=b1=1a _{1} = b _{1} = 1, a2b2=1a _{2} b _{2} = 1이고 ∑n=1∞(1anan+1+bn)=2\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{1}{a _{n} a _{n + 1}} + b _{n} \right) = 2 일 때, ∑n=1∞bn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{n}의 값은? [3점] ①76\displaystyle \frac{7}{6}②65\displaystyle \frac{6}{5}③54\displaystyle \frac{5}{4}④43\displaystyle \frac{4}{3}⑤32\displaystyle \frac{3}{2}

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⑤

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해설

등차수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 공차를 dd, 등비수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}의 공비를 rr라고 하면 a1=b1=1a _{1} = b _{1} = 1, a2b2=1a _{2} b _{2} = 1에서 (1+d)r=1\left( 1 + d \right) r = 1, r=11+d\displaystyle r = \frac{1}{1 + d} ∑n=1∞(1anan+1+bn)=2\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{1}{a _{n} a _{n + 1}} + b _{n} \right) = 2에서 ∑n=1∞(1anan+1+bn)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{1}{a _{n} a _{n + 1}} + b _{n} \right)=∑n=1∞{1d(1an−1an+1)+bn}\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left\{ \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a _{n}} - \frac{1}{a _{n + 1}} \right) + b _{n} \right\} =lim⁡n→∞1d(1−1an+1)+11−r\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{d} \left( 1 - \frac{1}{a _{n + 1}} \right) + \frac{1}{1 - r}} =1d+11−11+d\displaystyle = \frac{1}{d} + \frac{1}{1 - \frac{1}{1 + d}} =2+dd=2\displaystyle = \frac{2 + d}{d} = 2 ∴\therefore d=2d = 2 r=11+d\displaystyle r = \frac{1}{1 + d}에서 d=2d = 2이므로 r=13\displaystyle r = \frac{1}{3} ∴\therefore ∑n=1∞bn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{n}=11−13=32\displaystyle = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2}

태그

#등비급수#부분분수#등차수열

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