등차·등비 섞인 수열 빈칸

모든 항이 양수인 두 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$, $\left\{ b _{n} \right\}$에 대하여 $a _{n}$, $b _{n}$, $a _{n+1}$은 이 순서대로 등차수열을 이루고, $b _{n}$, $a _{n+1}$, $b _{n+1}$은 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, 일반항 $a _{n}$과 $b _{n}$을 구하는 과정이다. (단, $a _{1} = 1$, $a _{2} = 3$, $b _{1} = 2$) [4점]

$a _{n}$, $b _{n}$, $a _{n+1}$은 이 순서대로 등차수열을 이루므로 $2 b _{n} = a _{n} + a _{n+1}$ $\cdots \cdots$㉠이다. $b _{n}$, $a _{n+1}$, $b _{n+1}$은 이 순서대로 등비수열을 이루므로 $( a _{n+1} ) ^{2} = b _{n} b _{n+1}$ 이고, $a _{n+1} > 0$, $a _{n+2} > 0$이므로 $\displaystyle a _{n+1} = \sqrt{b _{n} b _{n+1}}$, $\displaystyle a _{n+2} = \sqrt{b _{n+1} b _{n+2}}$ $\cdots \cdots$㉡이다. 또한, ㉠, ㉡에서 얻어진 $\displaystyle 2 b _{n+1} = \sqrt{b _{n} b _{n+1}} + \sqrt{b _{n} b _{n+2}}$의 양변을 $\displaystyle \sqrt{b _{n+1}}$로 나누면 $\displaystyle 2 \sqrt{b _{n+1}} = \sqrt{b _{n}} + \sqrt{b _{n+2}}$이므로 $\displaystyle \left\{ \sqrt{b _{n}} \right\}$은 $\square {( \text{가} )}$수열이다. 그러므로 $a _{2} = 3$, $b _{1} = 2$, $( a _{2} ) ^{2} = b _{1} b _{2}$에서 $\displaystyle b _{2} = \frac{9}{2}$이므로 $b _{n} = \square {( \text{나} )}$이다. 따라서, $a _{n} = \square {( \text{다} )}$이다.

위 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? (가) (나) (다) ①등차 $\displaystyle \frac{1}{2} ( n + 1 ) ^{2}$ $\displaystyle \frac{n ( n + 1 )}{4}$②등비 $\displaystyle \frac{1}{2} ( n + 1 ) ^{2}$ $\displaystyle \frac{n ( n + 1 )}{2}$③등차 $\displaystyle \frac{1}{4} ( n + 1 ) ^{2}$ $\displaystyle \frac{n ( n + 1 )}{4}$④등비 $\displaystyle \frac{1}{4} ( n + 1 ) ^{2}$ $\displaystyle \frac{n ( n + 1 )}{4}$⑤등차 $\displaystyle \frac{1}{2} ( n + 1 ) ^{2}$ $\displaystyle \frac{n ( n + 1 )}{2}$