대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

등비수열의 합 조건

문제

첫째항이 양수이고 공비가 음수인 등비수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 첫째항부터 제nn항까지의 합 SnS _{n}에 대하여 a2a6=1a _{2} a _{6} = 1, S3=3a3S _{3} = 3 a _{3} 일 때, a7a _{7}의 값은? [4점] ①132\displaystyle \frac{1}{32}②116\displaystyle \frac{1}{16}③18\displaystyle \frac{1}{8}④14\displaystyle \frac{1}{4}⑤12\displaystyle \frac{1}{2}

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③

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해설

[출제의도] 등비수열 이해하기 등비수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 첫째항을 aa, 공비를 rr라 하면 a2a6=ar×ar5=a2r6=1a _{2} a _{6} = ar \times ar ^{5} = a ^{2} r ^{6} = 1 … ㉠ S3=3a3S _{3} = 3 a _{3}이고 r<0r < 0이므로 a(1−r3)1−r=3ar2\displaystyle \frac{a \left( 1 - r ^{3} \right)}{1 - r} = 3 ar ^{2} r2+r+1=3r2r ^{2} + r + 1 = 3 r ^{2}, (2r+1)(r−1)=0\left( 2 r + 1 \right) \left( r - 1 \right) = 0에서 r=−12\displaystyle r = \mathit{-} \frac{1}{2} a>0a > 0이고 ㉠에서 a2=64a ^{2} = 64이므로 a=8a = 8 따라서 a7=8×(−12)6=18\displaystyle a _{7} = 8 \times \left( - \frac{1}{2} \right) ^{6} = \frac{1}{8}

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#등비수열#등비수열의 합

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