대수등차수열과 등비수열수능 기출기본 문제 (3점 중반)

등비수열의 합 비

문제

첫째항이 3\mathrm{3}이고 공비가 1\mathrm{1}보다 큰 등비수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 첫째항부터 제nn항까지의 합을 SnS _{n}이라 하자. S4S2=6a3a5\displaystyle \frac{S _{4}}{S _{2}} = \frac{6 a _{3}}{a _{5}} 일 때, a7a _{7}의 값은? [3점] ①24\mathrm{24}②27\mathrm{27}③30\mathrm{30}④33\mathrm{33}⑤36\mathrm{36}

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①

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해설

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 공비를 r(r>1)r \left( r > 1 \right)이라 하자. S4S2=3(r4−1)r−13(r2−1)r−1=r2+1\displaystyle \frac{S _{4}}{S _{2}} = \frac{\frac{3 \left( r ^{4} - 1 \right)}{r - 1}}{\frac{3 \left( r ^{2} - 1 \right)}{r - 1}} = r ^{2} + 1 6a3a5=18r23r4=6r2\displaystyle \frac{6 a _{3}}{a _{5}} = \frac{18 r ^{2}}{3 r ^{4}} = \frac{6}{r ^{2}}이므로 r2+1=6r2\displaystyle r ^{2} + 1 = \frac{6}{r ^{2}}, r4+r2−6=0r ^{4} + r ^{2} - 6 = 0 (r2−2)(r2+3)=0\left( r ^{2} - 2 \right) \left( r ^{2} + 3 \right) = 0, r2=2r ^{2} = 2 따라서 a7=3×r6=3×23=24a _{7} = 3 \times r ^{6} = 3 \times 2 ^{3} = 24

태그

#등비수열#등비수열의 합

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