등비수열의 합

[출제의도] 등비수열의 합을 이용하여 등비수열의 특정한 항의 값을 구할 수 있는가? 등비수열 $a _{n}$의 공비를 $r$라 하자 $S _{9} - S _{5} = a _{6} + a _{7} + a _{8} + a _{9}$ $= 7 r ^{5} + 7 r ^{6} + 7 r ^{7} + 7 r ^{8}$ $= 7 r ^{5} ( 1 + r + r ^{2} + r ^{3} )$ $S _{6} - S _{2} = a _{3} + a _{4} + a _{5} + a _{6}$ $= 7 r ^{2} + 7 r ^{3} + 7 r ^{4} + 7 r ^{5}$ $= 7 r ^{2} ( 1 + r + r ^{2} + r ^{3} )$ 이때, $\displaystyle \frac{S _{9} - S _{5}}{S _{6} - S _{2}} = \frac{7 r ^{5} ( 1 + r + r ^{2} + r ^{3} )}{7 r ^{2} ( 1 + r + r ^{2} + r ^{3} )} = r ^{3}$ 이므로 $r ^{3} = 3$ 따라서 $a _{7} = 7 r ^{6} = 7 \times ( r ^{3} ) ^{2} = 7 \times 3 ^{2} = 63$