대수등차수열과 등비수열수능 기출기본 문제 (3점 중반)

등비수열의 항

문제

첫째항과 공비가 모두 양수 kk인 등비수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 a2(k2+1)=3a4a _{2} \left( k ^{2} + 1 \right) = 3 a _{4} 를 만족시킬 때, a3a _{3}의 값은? [3점] ①28\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{8}②39\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{9}③24\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}④33\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}⑤32\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}

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③

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해설

등비수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 첫째항과 공비가 모두 kk이므로 an=kna _{n} = k ^{n} a2(k2+1)=3a4a _{2} \left( k ^{2} + 1 \right) = 3 a _{4}에서 k2(k2+1)=3k4k ^{2} \left( k ^{2} + 1 \right) = 3 k ^{4} k>0k > 0이므로 k2+1=3k2k ^{2} + 1 = 3 k ^{2}, k2=12\displaystyle k ^{2} = \frac{1}{2}에서 k=22\displaystyle k = \frac{\sqrt{2}}{2} 따라서 a3=k3=24\displaystyle a _{3} = k ^{3} = \frac{\sqrt{2}}{4}

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#등비수열

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