대수등차수열과 등비수열수능 기출기본 문제 (3점 중반)

등비수열의 항

문제

모든 항이 양수인 등비수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 a32=a6a _{3} \mathit{^{2}} = a _{6}, a2−a1=2a _{2} - a _{1} = 2 일 때, a5a _{5}의 값은? [3점] ①20\mathrm{20}②24\mathrm{24}③28\mathrm{28}④32\mathrm{32}⑤36\mathrm{36}

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④

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해설

등비수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 첫째항을 aa, 공비를 rr라 하자. an=arn−1(a _{n} = a r ^{n - 1} (단, nn은 자연수) a32=a6a _{3} ^{2} = a _{6}이므로 (ar2)2=ar5\left( a r ^{2} \right) ^{2} = a r ^{5}, ar4(a−r)=0a r ^{4} ( a - r ) = 0 a=ra = r, an=rna _{n} = r ^{n} a2−a1=2a _{2} - a _{1} = 2이므로 r2−r=2r ^{2} - r = 2 (r−2)(r+1)=0( r - 2 ) ( r + 1 ) = 0 r=2r = 2 또는 r=−1r = - 1 모든 항이 양수이므로 r=2r = 2따라서 a5=r5=32a _{5} = r ^{5} = 32

태그

#등비수열#공비

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