등비수열과 로그 조건 원소 개수

$a _{1} = 2 a _{4}$에서 $a = 2 ar ^{3}$이므로 $\displaystyle r ^{3} = \frac{1}{2}$ $a _{3} ^{\log _{2} 3} = 27$에서 $a _{3} = 8$이므로 $a _{3} = a r ^{2}$에서 $\displaystyle a \left( \frac{1}{2} \right) ^{\frac{2}{3}} = 2 ^{3}$이므로 $\displaystyle \therefore a = 2 ^{\frac{11}{3}}$ 따라서 $\displaystyle a = 2 ^{\frac{11}{3}}$, $\displaystyle a _{2} = 2 ^{\frac{10}{3}}$, $\displaystyle a _{3} = 2 ^{\frac{9}{3}}$, $\cdots$ 주어진 집합의 조건에 의해서 $\displaystyle \log _{4} a _{n} - \log _{2} {\frac{1}{a _{n}}}$$= \log _{4} a _{n} + \log _{4} a _{n} ^{2}$$= \log _{4} a _{n} ^{3}$$\displaystyle = \frac{3}{2} \log _{2} a _{n}$ 따라서 $\displaystyle \log _{4} a _{n} - \log _{2} {\frac{1}{a _{n}}}$가 자연수가 되려면 $\displaystyle a _{n} = 2 ^{\frac{\text{짝수}}{3}}$이어야 한다. 즉, $\displaystyle a _{2} = 2 ^{\frac{10}{3}}$, $\displaystyle a _{4} = 2 ^{\frac{8}{3}}$, $\cdots$, $\displaystyle a _{10} = 2 ^{\frac{2}{3}}$이므로 원소의 개수는 $5$개이다.