대수등차수열과 등비수열수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

등비수열과 로그 조건

문제

서로 다른 세 자연수 $a , b , c$ 가 다음 세 조건을 모두 만족시킬 때, $a + b + c$ 의 값은? [4점]

(가) $a , b , c$ 는 이 순서대로 등비수열을 이룬다. (나) $b - a = n ^{2}$ (단, $n$ 은 자연수이다.) (다) $\log _{6} a + \log _{6} b + \log _{6} c = 3$

① $26$ ② $28$ ③ $30$ ④ $32$ ⑤ $34$

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①

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해설

[출제의도] 등비수열의 뜻을 알고 문제해결하기 (다)에서 $\log _{6} abc = 3$ 이므로 $abc = 6 ^{3}$ $\cdots \cdots$ ㉠이다. (가)에서 $a , b , c$ 가 등비수열을 이루므로 $b ^{2} = ac$ $\cdots \cdots$ ㉡이다. 그러므로 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면, $b = 6$ $\cdots \cdots$ ㉢이다. 이 때, ㉢을 ㉡에 대입하여 풀면 $ac = 6 ^{2}$ 이다. 그러므로 (나)로부터 $6 - a = 1 , 4$ 이므로 $a = 5 , 2$ 이다. 한편, $ac = 6 ^{2}$ 에서 $a$ 는 $6 ^{2}$ 의 약수이므로 $a = 2$ 뿐이다. 그러므로 $a = 2$ 를 $ac = 6 ^{2}$ 에 대입하면 $b = 6 , c = 18$ 이다. 따라서, $a + b + c = 26$ 이다.

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