등비수열과 주기함수 극값

함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 개형은 그림과 같고, 함수 $f \left( x \right)$는 $x = t$ ($t$는 정수)에서 극값을 가진다.

등비수열 $\left\{ a _{n} \right\}$이 수렴하므로 $- 1 < r \leq 1$이다. 조건 (나)를 만족시키는 $3$개의 자연수를 $i$, $j$, $l$$\left( i < j < l \right)$이라 하면 $a _{i} \neq a _{j}$이므로 $r \neq 1$이고, $a _{1} \neq 0$ 서로소인 두 자연수 $p \left( p \geq 2 \right)$, $q$에 대하여 $\displaystyle \left| r \right| = \frac{q}{p}$라 하자. $a _{i} = a _{i} r ^{1 - i}$이고 $a _{i}$, $a _{i}$은 자연수, $l - i \geq 2$이므로 $a _{i}$는 $p ^{2}$의 배수이다. $0 < a _{i} < 10$에서 $p$는 $2$ 또는 $3$이므로 $r$의 값은 $\displaystyle \pm \frac{1}{2}$, $\displaystyle \pm \frac{1}{3}$, $\displaystyle \pm \frac{2}{3}$ 이때, 조건 (나)를 만족시키는 등비수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공비와 순서쌍 $\left( a _{i} , a _{j} , a _{l} \right)$은 $\displaystyle r = \frac{1}{2}$일 때, $\left( 4 , 2 , 1 \right)$, $\displaystyle r = \frac{1}{3}$일 때, $\left( 9 , 3 , 1 \right)$, $\displaystyle r = \frac{2}{3}$일 때 $\left( 9 , 6 , 4 \right)$뿐이다. $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{a _{1} a _{n + 1} + a _{2 n}}{a _{n + 1} + a _{n}}$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{a _{1} \mathit{^{2}} r ^{n} + a _{1} r ^{2 n - 1}}{a _{1} r ^{n} + a _{1} r ^{n - 1}}$ $\displaystyle = \frac{a _{1} r}{r + 1} = \frac{81}{10} = \frac{3 ^{4}}{10}$ 에서 $\displaystyle a _{1} = \frac{3 ^{4} \left( r + 1 \right)}{10 r}$이다. (ⅰ) $\displaystyle r = \frac{1}{2}$인 경우 $\left( a _{i} , a _{j} , a _{i} \right) = \left( 4 , 2 , 1 \right)$이고 $a _{1} = 4$이다. 이때 $\displaystyle a _{1} = \frac{3 ^{4} \left( r + 1 \right)}{10 r} = \frac{3 ^{5}}{10}$이므로 조건을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $\displaystyle r = \frac{1}{3}$일 때, $\left( a _{i} , a _{j} , a _{i} \right) = \left( 9 , 3 , 1 \right)$이다. $\displaystyle a _{1} = \frac{3 ^{4} \left( r + 1 \right)}{10 r} = \frac{2 \times 3 ^{4}}{5}$에서 $\displaystyle a _{l} = a _{1} \times \left( \frac{1}{3} \right) ^{l - 1} = 1$인 자연수 $l$이 존재하지 않으므로 조건을 만족시키지 않는다. (ⅲ) $\displaystyle r = \frac{2}{3}$일 때, $\left( a _{i} , a _{j} , a _{i} \right) = \left( 9 , 6 , 4 \right)$이다. $\displaystyle a _{1} = \frac{3 ^{4} \left( r + 1 \right)}{10 r} = \frac{3 ^{4}}{4}$에서 $i = 3$, $j = 4$, $l = 5$이다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 $\displaystyle r = \frac{2}{3}$ $\displaystyle a _{7} = a _{1} r ^{6} = \frac{3 ^{4}}{4} \times \left( \frac{2}{3} \right) ^{6} = \frac{16}{9}$에서 $p = 9$, $q = 16$이므로 $p + q = 25$