등비수열과 급수 조건

등비수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공비를 $r$라 하자. 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$은 모든 항이 양수인 수열이므로 $a _{1} > 0$, $r > 0$ (ⅰ) $0 < r < 1$일 때 모든 자연수 $n$에 대하여 $a _{n} > a _{n + 1}$이고 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n} = 0$이다. $a _{3 n - 2} < 1$을 만족시키는 자연수 $n$의 최솟값을 $k$라 하면 $n \geq 3 k - 2$일 때 $b _{n} = \left( - 1 \right) ^{n}$이므로 $n$이 $k$ 이상의 짝수이면 $3 b _{3 n - 2} - 7 b _{3 n - 1} + 2 b _{3 n} = 3 + 7 + 2 = 12$, $n$이 $k$ 이상의 홀수이면 $3 b _{3 n - 2} - 7 b _{3 n - 1} + 2 b _{3 n} = - 3 - 7 - 2 = - 12$ 수열 $\left\{ 3 b _{3 n - 2} - 7 b _{3 n - 1} + 2 b _{3 n} \right\}$이 발산하므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다. (ⅱ) $r = 1$일 때 (a) $0 < a _{1} < 1$일 때 모든 자연수 $n$에 대하여 $b _{n} = \left( - 1 \right) ^{n}$이므로 $n$이 짝수이면 $3 b _{3 n - 2} - 7 b _{3 n - 1} + 2 b _{3 n} = 3 + 7 + 2 = 12$, $n$이 홀수이면 $3 b _{3 n - 2} - 7 b _{3 n - 1} + 2 b _{3 n} = - 3 - 7 - 2 = - 12$ 수열 $\left\{ 3 b _{3 n - 2} - 7 b _{3 n - 1} + 2 b _{3 n} \right\}$이 발산하므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다. (b) $a _{1} \geq 1$일 때 모든 자연수 $n$에 대하여 $b _{n} = a _{n} = a _{1}$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left( 3 b _{3 n - 2} - 7 b _{3 n - 1} + 2 b _{3 n} \right)$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left( 3 a _{1} - 7 a _{1} + 2 a _{1} \right) = - 2 a _{1} \neq 0$ 그러므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다. (ⅲ) $r > 1$일 때 모든 자연수 $n$에 대하여 $a _{n} < a _{n + 1}$이고 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n} = \infty$이다. $a _{3 n} \geq 1$을 만족시키는 자연수 $n$의 최솟값을 $k$라 하면 $n \geq k$일 때 $b _{n} = a _{n}$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( 3 b _{3 n - 2} - 7 b _{3 n - 1} + 2 b _{3 n} \right)$ $\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{k} \left( 3 b _{3 n - 2} - 7 b _{3 n - 1} + 2 b _{3 n} \right) +$$\displaystyle \sum\limits _{n = k + 1} ^{\infty} \left( 3 a _{3 n - 2} - 7 a _{3 n - 1} + 2 a _{3 n} \right)$ $\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{k} \left( 3 b _{3 n - 2} - 7 b _{3 n - 1} + 2 b _{3 n} \right) +$$\displaystyle \sum\limits _{n = k + 1} ^{\infty} \left\{ a _{3 n - 2} \times \left( 3 - 7 r + 2 r ^{2} \right) \right\}$ 급수 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( 3 b _{3 n - 2} - 7 b _{3 n - 1} + 2 b _{3 n} \right)$이 수렴하므로 급수 $\displaystyle \sum\limits _{n = k + 1} ^{\infty} \left\{ a _{3 n - 2} \times \left( 3 - 7 r + 2 r ^{2} \right) \right\}$이 수렴한다. 그러므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left\{ a _{3 n - 2} \times \left( 3 - 7 r + 2 r ^{2} \right) \right\} = 0$ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{3 n - 2} = \infty$이므로 $3 - 7 r + 2 r ^{2} = 0$ $2 r ^{2} - 7 r + 3 = \left( 2 r - 1 \right) \left( r - 3 \right) = 0$ $r > 1$이므로 $r = 3$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 $r = 3$ 조건 (나)에서 $b _{5} \mathit{^{2}} \ne b _{4} b _{6}$이므로 세 수 $b _{4}$, $b _{5}$, $b _{6}$은 이 순서대로 등비수열을 이루지 않는다. 이때 두 수열 $\left\{ \left( - 1 \right) ^{n} \right\}$, $\left\{ a _{n} \right\}$은 등비수열이므로 $\displaystyle b _{n} = \begin{cases} \left( - 1 \right) ^{n} & & \left( n \leq 4 \right) \\ a _{n} & & \left( n \geq 5 \right) \end{cases}$ 또는 $\displaystyle \left. \begin{array}{lll} b _{n} = \begin{cases} \left( - 1 \right) ^{n} & & \left( n \leq 5 \right) \\ a _{n} & & \left( n \geq 6 \right) \end{cases} \end{array} \right.$ 이다. $\displaystyle b _{n} = \begin{cases} \left( - 1 \right) ^{n} & & \left( n \leq 5 \right) \\ a _{n} & & \left( n \geq 6 \right) \end{cases}$일 때, $a _{5} < 1$, $a _{6} = 3 a _{5} \geq 1$이므로 $\displaystyle \frac{1}{3} \leq a _{5} < 1$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $\displaystyle b _{5} \mathit{^{2}} = b _{4} b _{6} - \frac{9}{4}$에서 $\displaystyle \left( - 1 \right) ^{2} = 1 \times a _{6} - \frac{9}{4}$, $\displaystyle a _{6} = \frac{13}{4}$ $\displaystyle a _{5} = \frac{13}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{13}{12}$이므로 ㉠을 만족시키지 않는다. $\displaystyle b _{n} = \begin{cases} \left( - 1 \right) ^{n} & & \left( n \leq 4 \right) \\ a _{n} & & \left( n \geq 5 \right) \end{cases}$일 때, $a _{4} < 1$, $a _{5} = 3 a _{4} \geq 1$이므로 $\displaystyle \frac{1}{3} \leq a _{4} < 1$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ $\displaystyle b _{5} \mathit{^{2}} = b _{4} b _{6} - \frac{9}{4}$에서 $\displaystyle a _{5} \mathit{^{2}} = 1 \times a _{6} - \frac{9}{4}$ $4 a _{5} \mathit{^{2}} - 12 a _{5} + 9 = \left( 2 a _{5} - 3 \right) ^{2} = 0$이므로 $\displaystyle a _{5} = \frac{3}{2}$ $\displaystyle a _{4} = \frac{3}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{2}$이므로 ㉡을 만족시킨다. 따라서 $\displaystyle 90 a _{3} = 90 \times \left( \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \right) = 15$