대수등차수열과 등비수열수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

등비수열과 근

문제

xx에 대한 이차방정식 x2−3x+k=0x ^{2} - 3 x + k = 0의 두 실근을 α\alpha, β\beta 라 하자. αβ\displaystyle \frac{\alpha}{\beta}, α+β\alpha + \beta, αβ\alpha \beta 가 이 순서로 등비수열을 이룰 때, k2k ^{2}의 값을 구하시오. (단, αβ≠0\alpha \beta \ne 0) [4점]

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324

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해설

[출제의도] 등비중항과 근과 계수와의 관계를 이용하여 상수의 값 구하기 α,β\alpha , \beta가 x2−3x+k=0x ^{2} - 3 x + k = 0의 두 실근이므로 α+β=3\alpha + \beta = 3, αβ=k\alpha \beta = k이다. αβ,α+β,αβ\displaystyle \frac{\alpha}{\beta} , \alpha + \beta , \alpha \beta가 등비수열을 이루므로 (α+β)2=αβ⋅αβ=α2=9\displaystyle ( \alpha + \beta ) ^{2} = \frac{\alpha}{\beta} \cdot \alpha \beta = \alpha ^{2} = 9 따라서 {α=3β=0\displaystyle \begin{cases} \alpha = 3 {} _{} {}_{} \\ \beta = 0 \end{cases} 또는 {α=−3β=6\displaystyle \begin{cases} \alpha = - 3 {} _{} {}_{} \\ \beta = 6 \end{cases} αβ≠0\alpha \beta \ne 0이므로 α=−3,β=6\alpha = - 3 , \beta = 6 k=αβ=−18k = \alpha \beta = - 18 ∴k2=324\therefore k ^{2} = 324

태그

#등비중항#근과 계수의 관계

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