미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

등비수열을 이용한 이중합의 무한급수

문제

두 수열 {an},{bn}\left\{ a _{n} \right\} , \left\{ b _{n} \right\}의 일반항이 각각 an=(12)n−1\displaystyle a _{n} = \left( \frac{1}{2} \right) ^{n-1}과 bn=2(13)n−1\displaystyle b _{n} = 2 \left( \frac{1}{3} \right) ^{n-1}일 때, ∑n=1∞(∑k=1nakbn−k+1)\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} \left( \sum\limits _{k=1} ^{n} a _{k} b _{n-k+1} \right)의 값은? [5점] ①66②88③99④1010⑤1212

정답 보기
①

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

akbn−k+1a _{k} b _{n-k+1}=(12)k−1⋅2(13)n−k\displaystyle = \left( \frac{1}{2} \right) ^{k-1} \cdot 2 \left( \frac{1}{3} \right) ^{n-k} =2(12)k−1(13)n−1(13)−k+1\displaystyle = 2 \left( \frac{1}{2} \right) ^{k-1} \left( \frac{1}{3} \right) ^{n-1} \left( \frac{1}{3} \right) ^{-k+1} =2(13)n−1(32)k−1\displaystyle = 2 \left( \frac{1}{3} \right) ^{n-1} \left( \frac{3}{2} \right) ^{k-1} ∴ ∑k=1nakbn−k+1\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{n} a _{k} b _{n-k+1}=∑k=1n2(13)n−1(32)k−1\displaystyle = \sum\limits _{k=1} ^{n} 2 \left( \frac{1}{3} \right) ^{n-1} \left( \frac{3}{2} \right) ^{k-1} =2(13)n−1⋅∑k=1n(32)k−1\displaystyle = 2 \left( \frac{1}{3} \right) ^{n-1} \cdot \sum\limits _{k=1} ^{n} \left( \frac{3}{2} \right) ^{k-1} =2(13)n−1⋅(32)n−132−1\displaystyle = 2 \left( \frac{1}{3} \right) ^{n-1} \cdot \frac{\left( \frac{3}{2} \right) ^{n} - 1}{\frac{3}{2} - 1} =4(13)n−1{(32)n−1}\displaystyle = 4 \left( \frac{1}{3} \right) ^{n - 1} \left\{ \left( \frac{3}{2} \right) ^{n} - 1 \right\} =6(12)n−1−4(13)n−1\displaystyle = 6 \left( \frac{1}{2} \right) ^{n-1} - 4 \left( \frac{1}{3} \right) ^{n-1} ∴ ∑n=1∞(∑k=1nakbn−k+1)\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} \left( \sum\limits _{k=1} ^{n} a _{k} b _{n-k+1} \right) =∑n=1∞{6(12)n−1−4(13)n−1}\displaystyle = \sum\limits _{n=1} ^{\infty} \left\{ 6 \left( \frac{1}{2} \right) ^{n-1} - 4 \left( \frac{1}{3} \right) ^{n-1} \right\} =61−12−41−13\displaystyle = \frac{6}{1 - \frac{1}{2}} - \frac{4}{1 - \frac{1}{3}} =6= 6

태그

#등비수열#이중합#무한등비급수

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 급수 문제 모음수능 문제 모음심화 문제 모음
← 전체 문제 목록으로