등비수열 역수의 합

[출제의도] 등비수열의 합을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. 등비수열의 첫째항을 $a$, 공비를 $r$라 하면 $a _{1} + a _{2} + a _{3} + a _{4} + a _{5} = a + ar + ar ^{2} + ar ^{3} + ar ^{4}$ $\displaystyle = a ( 1 + r + r ^{2} + r ^{3} + r ^{4} ) = \frac{31}{2}$ $a _{1} a _{2} a _{3} a _{4} a _{5} = a \cdot ar \cdot ar ^{2} \cdot ar ^{3} \cdot ar ^{4} = a ^{5} r ^{10} = 32$ ∴ $ar ^{2} = 2$ $\displaystyle \frac{1}{a _{1}} + \frac{1}{a _{2}} + \frac{1}{a _{3}} + \frac{1}{a _{4}} + \frac{1}{a _{5}}$ $\displaystyle = \frac{1}{a} + \frac{1}{ar} + \frac{1}{ar ^{2}} + \frac{1}{ar ^{3}} + \frac{1}{ar ^{4}}$ $\displaystyle = \frac{1}{ar ^{4}} \left( 1 + r + r ^{2} + r ^{3} + r ^{4} \right. )$ $\displaystyle = \frac{a}{( ar ^{2} ) ^{2}} \left( 1 + r + r ^{2} + r ^{3} + r ^{4} \right)$$\displaystyle = \frac{31}{8}$