대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)등비수열 역수 합광고 영역 (상세 상단)문제수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}{an}은 첫째항이 양수이고 공비가 111보다 큰 등비수열이다. a3a5=a1a _{3} a _{5} = a _{1}a3a5=a1일 때, ∑k=1n1ak=∑k=1nak\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{1}{a _{k}} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k}k=1∑nak1=k=1∑nak를 만족시키는 자연수 nnn의 값을 구하시오. [4점]정답 보기13자료 내려받기아직 올라온 파일이 없습니다.해설[출제의도] 등비수열의 합을 이용하여 지수방정식을 해결한다. 첫째항을 aaa, 공비를 rrr라 하면 a3a5=a1a _{3} a _{5} = a _{1}a3a5=a1에서 (ar2)×(ar4)=a( ar ^{2} ) \times ( ar ^{4} ) = a(ar2)×(ar4)=a이므로 a=1r6\displaystyle a = \frac{1}{r ^{6}}a=r61이다. ∑k=1n1ak\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{n} {\frac{1}{a _{k}}}k=1∑nak1=1a(1−1rn)1−1r\displaystyle = \frac{\frac{1}{a} \left( 1 - \frac{1}{r ^{n}} \right)}{1 - \frac{1}{r}}=1−r1a1(1−rn1)=r(rn−1)arn(r−1)\displaystyle = \frac{r \left( r ^{n} - 1 \right)}{ar ^{n} ( r - 1 )}=arn(r−1)r(rn−1), ∑k=1nak\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{n} {a _{k}}k=1∑nak=a(rn−1)r−1\displaystyle = \frac{a ( r ^{n} - 1 )}{r - 1}=r−1a(rn−1) 이므로 r(rn−1)arn(r−1)\displaystyle \frac{r \left( r ^{n} - 1 \right)}{ar ^{n} ( r - 1 )}arn(r−1)r(rn−1)=a(rn−1)r−1\displaystyle = \frac{a ( r ^{n} - 1 )}{r - 1}=r−1a(rn−1)에서 rn−1=1a2\displaystyle r ^{n - 1} = \frac{1}{a ^{2}}rn−1=a21이다. rn−1=r12r ^{n - 1} = r ^{12}rn−1=r12이므로 n=13n = 13n=13태그#등비수열#합비슷한 문제 더 보기대수 문제 모음대수 등차수열과 등비수열 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음광고 영역 (해설 하단)← 전체 문제 목록으로