등비수열 세 수

공비를 $r$라 하면 $\displaystyle a + b + c = a + ar + ar ^{2} = \frac{7}{2}$에서 $\displaystyle a ( 1 + r + r ^{2} ) = \frac{7}{2} \cdots \text{㉠}$ 또, $abc = a \cdot ar \cdot ar ^{2} = 1$에서 $a ^{3} r ^{3} = ( ar ) ^{3} = 1$이고 $a , r$는 실수이므로 $ar = 1 \cdots \text{㉡}$ ㉠, ㉡ 에서 $\displaystyle \frac{1 + r + r ^{2}}{r} = \frac{7}{2} , 2 r ^{2} + 2 r + 2 = 7 r , 2 r ^{2} - 5 r + 2 = 0$ $( r - 2 ) ( 2 r - 1 ) = 0$ $\therefore r = 2$ 또는 $\displaystyle r = \frac{1}{2}$ ㉠에서 $\displaystyle a = \frac{1}{2}$ 또는 $a = 2$ 따라서 세 수는 $\displaystyle 2 , 1 , \frac{1}{2}$이다. $\displaystyle \therefore a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} = 2 ^{2} + 1 ^{2} + \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} = \frac{21}{4}$ [다른 풀이]$b ^{2} = ac$이므로 (나)에서 $b ^{3} = 1$ $\therefore b = 1$ $b = 1$이므로 $ac = 1$이고, (가)에서 $\displaystyle a + c = \frac{5}{2}$이므로 $\displaystyle ab + bc = \frac{5}{2}$ $\displaystyle \therefore a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} = ( a + b + c ) ^{2} - 2 ( ab + bc + ca ) = \frac{21}{4}$