등비수열 모든 항의 곱

[출제의도] 등비수열을 활용하여 문제해결하기 $\displaystyle \frac{1}{4}$, $a _{1}$, $a _{2}$, $\cdots$, $a _{n}$, $16$이 공비가 양수 $r$인 등비수열을 이루므로 $\displaystyle 16 = \frac{1}{4} r ^{n + 1}$, $r ^{n + 1} = 64$ $\cdots$ ㉠ 주어진 등비수열의 모든 항의 곱이 $1024$이므로 $\displaystyle \frac{1}{4} \times a _{1} \times a _{2} \times \cdots \times a _{n} \times 16$$\displaystyle = \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} r \times \frac{1}{4} r ^{2} \times \cdots \times \frac{1}{4} r ^{n} \times 16$ $\displaystyle = \left( \frac{1}{4} \right) ^{n + 1} \times 16 \times r ^{1 + 2 + \cdots + n}$ $\displaystyle = 2 ^{- 2 n - 2} \times 2 ^{4} \times r ^{\frac{n \left( n + 1 \right)}{2}}$ $\displaystyle = 2 ^{- 2 n + 2} \times \left( r ^{n + 1} \right) ^{\frac{n}{2}} = 1024$ $\cdots$ ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 $\displaystyle 2 ^{- 2 n + 2} \times \left( 2 ^{6} \right) ^{\frac{n}{2}} = 1024$, $2 ^{n + 2} = 2 ^{10}$이므로 $n = 8$ 따라서 $n = 8$을 ㉠에 대입하면 $r ^{9} = 64$