등비수열 조건

등비수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공비를 $r$라 하자. 조건 (가)에서 $2$ 이상의 모든 자연수 $n$에 대하여 $a _{n} > a _{1}$이므로 $a _{1} > 0$, $r > 1$ 또는 $a _{1} < 0$, $- 1 < r < 1$ $\cdots \cdots$ ㉠ 또한 $2$ 이상의 모든 자연수 $n$에 대하여 $a _{n} = \left( a _{4} + a _{5} - 1 \right) \times a _{n - 1}$ 이므로 $a _{4} + a _{5} - 1 = r$ $a _{1} r ^{3} + a _{1} r ^{4} - 1 = r$ $a _{1} r ^{3} \left( 1 + r \right) = 1 + r$ ㉠에서 $r \neq - 1$이므로 $a _{1} r ^{3} = 1$, $\displaystyle r ^{3} = \frac{1}{a _{1}}$ 조건 (나)에서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{3} a _{n} = \frac{6}{a _{1} - a _{2}}$이므로 $\displaystyle \frac{a _{1} \left( 1 - r ^{3} \right)}{1 - r} = \frac{6}{a _{1} \left( 1 - r \right)}$ $\displaystyle a _{1} ^{2} \left( 1 - \frac{1}{a _{1}} \right) = 6$ $a _{1} ^{2} - a _{1} - 6 = \left( a _{1} - 3 \right) \left( a _{1} + 2 \right) = 0$ $a _{1} = 3$ 또는 $a _{1} = - 2$ $a _{1} = 3$이면 $\displaystyle r ^{3} = \frac{1}{3}$이므로 $r < 1$이 되어 ㉠을 만족시키지 않는다. $a _{1} = - 2$이면 $\displaystyle r ^{3} = - \frac{1}{2}$이므로 $- 1 < r < 1$이 되어 ㉠을 만족시킨다. 따라서 $\displaystyle a _{10} = a _{1} r ^{9} = a _{1} \left( r ^{3} \right) ^{3} = - 2 \times \left( - \frac{1}{2} \right) ^{3} = \frac{1}{4}$