등비수열 조건

[출제의도] 등비수열의 성질을 이해하여 수열의 항을 구한다. 등비수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항을 $a$, 공비를 $r$라 하자. 조건 (가)에서 $ar ^{2} \times ar ^{4} \times ar ^{6} = 125$ $\left( ar ^{4} \right) ^{3} = 5 ^{3}$, 즉 $ar ^{4} = 5$ 조건 (나)에서 $\displaystyle \frac{ar ^{3} + ar ^{7}}{ar ^{5}} = \frac{13}{6}$, $\displaystyle \frac{1}{r ^{2}} + r ^{2} = \frac{13}{6}$ $r ^{2} = X$로 치환하면 $\displaystyle X + \frac{1}{X} = \frac{13}{6}$에서 $6 X ^{2} - 13 X + 6 = 0$, $\left( 2 X - 3 \right) \left( 3 X - 2 \right) = 0$ $\displaystyle X = \frac{3}{2}$ 또는 $\displaystyle X = \frac{2}{3}$에서 $\displaystyle r ^{2} = \frac{3}{2}$ 또는 $\displaystyle r ^{2} = \frac{2}{3}$ 공비가 $1$보다 커야 하므로 $\displaystyle r ^{2} = \frac{3}{2}$ 따라서 $\displaystyle a _{9} = ar ^{8} = ar ^{4} \times r ^{4} = 5 \times \left( \frac{3}{2} \right) ^{2} = \frac{45}{4}$