등비수열 조건

[출제의도] 등비수열의 일반항과 등비수열의 합을 이용하여 특정 항의 값을 구할 수 있는가? 등비수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공비를 $r$ ($r$은 정수)라 하면 첫째항이 $2$이므로 $a _{n} = 2 r ^{n-1}$ $a _{2} = 2 r , a _{3} = 2 r ^{2}$이므로 조건 (가)에서 $4 < 2 r + 2 r ^{2} \leq 12$ 즉, $2 < r + r ^{2} \leq 6$ $r ^{2} + r > 2$에서 $r ^{2} + r - 2 = ( r + 2 ) ( r - 1 ) > 0$ 이므로 $r < - 2$ 또는 $r > 1$ $\cdots \text{㉠}$ $r ^{2} + r \leq 6$에서 $r ^{2} + r - 6 = ( r + 3 ) ( r - 2 ) \leq 0$ 이므로 $- 3 \leq r \leq 2$ $\cdots \text{㉡}$ $\text{㉠} , \text{㉡}$에서 $- 3 \leq r < - 2$ 또는 $1 < r \leq 2$ $r$는 정수이므로 $r = - 3$ 또는 $r = 2$ (ⅰ) $r = 2$인 경우 조건 (나)에서 $\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{m} a _{k} = \sum\limits _{k=1} ^{m} \left( 2 \times 2 ^{k-1} \right)$$\displaystyle = \frac{2 \left( 2 ^{m} - 1 \right)}{2 - 1}$$= 2 \left( 2 ^{m} - 1 \right)$ $2 \left( 2 ^{m} - 1 \right) = 122$ 에서 $2 ^{m} - 1 = 61 , 2 ^{m} = 62$ 이때, $2 ^{m} = 62$를 만족시키는 $m$의 값은 존재하지 않는다. (ⅱ) $r = - 3$인 경우 조건 (나)에서 $\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{m} a _{k} = \sum\limits _{k=1} ^{m} \left\{ 2 \times \left( - 3 \right) ^{k-1} \right\}$$\displaystyle = \frac{2 \left\{ 1 - ( - 3 ) ^{m} \right\}}{1 - ( - 3 )}$$\displaystyle = \frac{2 - ( - 3 ) ^{m}}{2}$ $\displaystyle \frac{2 - ( - 3 ) ^{m}}{2} = 122$ 에서 $1 - ( - 3 ) ^{m} = 244$ $( - 3 ) ^{m} = - 243$ 즉, $( - 3 ) ^{m} = ( - 3 ) ^{5}$ 이므로 $m = 5$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $r = - 3 , m = 5$ 이므로 $a _{m} = a _{5} = 2 \times ( - 3 ) ^{4} = 162$