등비수열 합의 곱

[출제의도] 등비수열의 합을 이용하여 문제해결하기 등비수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항을 $a$, 공비를 $r$라 하면 $a _{1} a _{2} = a _{10}$에서 $a \cdot ar = ar ^{9}$ $a > 0$, $r > 0$이므로 $a = r ^{8}$ $\cdots \cdots \text{㉠}$ $a _{1} + a _{9} = 20$에서 $a + ar ^{8} = 20$ $\cdots \cdots \text{㉡}$ ㉠, ㉡에서 $a + a ^{2} = 20$, $a ^{2} + a - 20 = 0$ $( a + 5 ) ( a - 4 ) = 0$이므로 $a = 4$($\because$ $a > 0$) ㉠에 $a = 4$를 대입하면 $r ^{8} = 4$, $r ^{4} = 2$이고 $r ^{20} = \left( r ^{8} \right) ^{2} r ^{4} = 4 ^{2} \times 2 = 32$ $\left( a _{1} + a _{3} + a _{5} + a _{7} + a _{9} \right) \left( a _{1} - a _{3} + a _{5} - a _{7} + a _{9} \right)$ $\displaystyle = \frac{a \left\{ 1 - \left( r ^{2} \right) ^{5} \right\}}{1 - r ^{2}} \cdot \frac{a \left\{ 1 - \left( - r ^{2} \right) ^{5} \right\}}{1 - \left( - r ^{2} \right)}$ $\displaystyle = \frac{a \left( 1 - r ^{10} \right)}{1 - r ^{2}} \cdot \frac{a \left( 1 + r ^{10} \right)}{1 + r ^{2}} = \frac{a ^{2} \left( 1 - r ^{20} \right)}{1 - r ^{4}}$ $\displaystyle = \frac{4 ^{2} ( 1 - 32 )}{1 - 2} = 16 \times 31 = 496$