등비수열 합의 비

[출제의도] 등비수열과 등비수열의 합의 관계를 이해하고 수열의 합을 구한다. 모든 항이 양의 실수인 등비수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항을 $a$$( a > 0 )$, 공비를 $r$$( r > 0 )$이라 하면 $S _{3} = 7 a _{3}$에서 $a + ar + ar ^{2} = 7 ar ^{2}$ $a > 0$이므로 $1 + r + r ^{2} = 7 r ^{2}$ $6 r ^{2} - r - 1 = 0$ $( 3 r + 1 ) ( 2 r - 1 ) = 0$ $r > 0$이므로 $\displaystyle r = \frac{1}{2}$ 따라서 $\displaystyle a _{n} = a \left( \frac{1}{2} \right) ^{n - 1}$ $\displaystyle S _{n} = \frac{a \left\{ 1 - \left( \frac{1}{2} \right) ^{n} \right\}}{1 - \frac{1}{2}}$$\displaystyle = 2 a \left\{ 1 - \left( \frac{1}{2} \right) ^{n} \right\}$ 이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{8} \frac{S _{n}}{a _{n}}$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{8} \frac{2 a \left\{ 1 - \left( \frac{1}{2} \right) ^{n} \right\}}{a \left( \frac{1}{2} \right) ^{n - 1}}$ $\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{8} ( 2 ^{n} - 1 )$ $\displaystyle = \frac{2 ( 2 ^{8} - 1 )}{2 - 1} - 8 = 502$ [다른 풀이] 모든 항이 양의 실수인 등비수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항을 $a$$( a > 0 )$, 공비를 $r$$( r > 0 )$이라 하면 ⅰ) $r = 1$일 때 $S _{3} = 7 a _{3}$에서 $a + a + a = 7 a$ $4 a = 0$에서 $a = 0$ $a > 0$이므로 조건을 만족하지 않는다. ⅱ) $r \neq 1$일 때 $S _{3} = 7 a _{3}$에서 $\displaystyle \frac{a ( 1 - r ^{3} )}{1 - r} = 7 ar ^{2}$ $\displaystyle \frac{a ( 1 - r ) ( 1 + r + r ^{2} )}{1 - r} = 7 ar ^{2}$ $r \ne 1$이므로 $a ( 1 + r + r ^{2} ) = 7 ar ^{2}$ $a > 0$이므로 $1 + r + r ^{2} = 7 r ^{2}$ $6 r ^{2} - r - 1 = 0$ $( 3 r + 1 ) ( 2 r - 1 ) = 0$ $r > 0$이므로 $\displaystyle r = \frac{1}{2}$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{8} \frac{S _{n}}{a _{n}} = 502$