대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

등비수열 합의 배수

문제

첫째항이 11, 공비가 rr인 등비수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 첫째항부터 제 nn항까지의 합을 SnS _{n}이라 하자. S20=4S10S _{20} = 4 S _{10}이면 S40=□S10S _{40} = \square S _{10}이다. □\square에 알맞은 수는? (단, r≠±1r \not = \pm 1) [4점] ①88②1616③2424④3232⑤4040

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⑤

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해설

[출제의도] 등비수열의 합을 구할 수 있다. 등비수열{an}\left\{ a _{n} \right\}의 첫째항이 11, 공비가 rr이므로, S20=4S10S _{20} = 4 S _{10}에서 1−r201−r=4⋅1−r101−r\displaystyle \frac{1 - r ^{20}}{1 - r} = 4 \cdot \frac{1 - r ^{10}}{1 - r} (1−r10)(1+r10)=4(1−r10)( 1 - r ^{10} ) ( 1 + r ^{10} ) = 4 ( 1 - r ^{10} ) 1+r10=41 + r ^{10} = 4 ∴r10=3r ^{10} = 3 S40=1−r401−r=(1−r10)(1+r10)(1+r20)1−r\displaystyle S _{40} = \frac{1 - r ^{40}}{1 - r} = \frac{( 1 - r ^{10} ) ( 1 + r ^{10} ) ( 1 + r ^{20} )}{1 - r} =S10(1+3)(1+9)=40S10= S _{10} ( 1 + 3 ) ( 1 + 9 ) = 40 S _{10}

태그

#등비수열#합

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