대수등차수열과 등비수열수능 기출기본 문제 (3점 중반)

등비수열 합이 등비

문제

첫째항이 20042004인 등비수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 bn=1+∑k=1nak\displaystyle b _{n} = 1 + \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k}로 정의되는 수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}도 등비수열일 때, b2b _{2} 의 값은? [3점] ①200422004 ^{2}②2004⋅20052004 \cdot 2005③200522005 ^{2}④1+200421 + 2004 ^{2}⑤1+200521 + 2005 ^{2}

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③

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해설

등비수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 공비를 rr이라 두면 an=2004⋅rn−1a _{n} = 2004 \cdot r ^{n-1}이고 ∴bn=1+∑k=1nak\displaystyle \begin{aligned} \therefore b _{n} & = 1 + \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} \end{aligned} =1+2004(rn−1)r−1=r−2005r−1+2004rr−1×rn−1\displaystyle = 1 + \frac{2004 \left( r ^{n} - 1 \right)}{r - 1} = \frac{r - 2005}{r - 1} + \frac{2004 r}{r - 1} \times r ^{n - 1} 수열{bn}\left\{ b _{n} \right\}도 등비수열이므로 r−2005r−1=0\displaystyle \frac{r - 2005}{r - 1} = 0 ∴r=2005\therefore r = 2005이다. ∴bn=2004×20052005−1×(2005)n−1=2005n\displaystyle \begin{aligned} \therefore b _{n} & = \frac{2004 \times 2005}{2005 - 1} \times \left( 2005 \right) ^{n-1} = 2005 ^{n} \end{aligned} ∴b2=20052\therefore b _{2} = 2005 ^{2}

태그

#등비수열#등비수열의 합

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