등비수열 합 조건

[출제의도] 등비수열을 활용하여 문제해결하기 등비수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공비를 $r$라 하면, 조건 (가)에서 $a _{1} \times a _{2} = a _{1} ^{2} r$, $2 a _{3} = 2 a _{1} r ^{2}$이므로 $a _{1} ^{2} r = 2 a _{1} r ^{2}$ 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 모든 항이 양수이므로 $a _{1} = 2 r$ $\cdots \text{㉠}$ 조건 (나)에서 $r = 1$이면 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{20} a _{k} = 20 a _{1}$, $\displaystyle \frac{a _{21} - a _{1}}{3} = 0$이므로 $a _{1} = 0$ $a _{1} > 0$이므로 $r \ne 1$ $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{20} a _{k} = \frac{a _{1} \left( r ^{20} - 1 \right)}{r - 1}$, $\displaystyle \frac{a _{21} - a _{1}}{3} = \frac{a _{1} \left( r ^{20} - 1 \right)}{3}$에서 $\displaystyle \frac{1}{r - 1} = \frac{1}{3}$이므로 $r = 4$ $\text{㉠}$에서 $a _{1} = 8$ 따라서 $a _{3} = 8 \times 4 ^{2} = 128$