등비수열 합 조건

[출제의도] 등비수열의 합을 활용하여 문제해결하기 등비수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공비를 $r$라 하자. $a _{1} + a _{3} + a _{5} + \cdots + a _{19} = a _{1} ( 1 + r ^{2} + r ^{4} + \cdots + r ^{18} ) = \alpha$ 라 하면 $a _{2} + a _{4} + a _{6} + \cdots + a _{20} = \alpha r$ $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{20} a _{k} + \sum\limits _{k = 1} ^{10} a _{2 k} = 0$이므로 $( \alpha + \alpha r ) + \alpha r = 0$, $( 1 + 2 r ) \alpha = 0$ $\alpha = 0$이라 하면 $a _{1} = 0$이므로 $a _{3} + a _{4} = 0$ $a _{3} + a _{4} = 3$이므로 $\alpha \neq 0$ 그러므로 $\displaystyle r = \mathit{-} \frac{1}{2}$ $\displaystyle a _{3} + a _{4} = a _{1} \times \left( - \frac{1}{2} \right) ^{2} + a _{1} \times \left( - \frac{1}{2} \right) ^{3} = \frac{1}{8} a _{1} = 3$ 따라서 $a _{1} = 24$