등비수열 합

등비수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항을 $a \left( a > 0 \right)$, 공비를 $r \left( r > 0 \right)$이라 하자. $a _{n} = ar ^{n - 1}$ (단, $n$은 자연수) $a _{5} \times \left( a _{6} + a _{7} \right) = 20 a _{10}$이므로 $ar ^{4} \times \left( ar ^{5} + ar ^{6} \right) = 20 ar ^{9}$ 양변을 $ar ^{9}$으로 나누면 $a \left( 1 + r \right) = 20$ $\displaystyle a = \frac{20}{1 + r}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $r = 1$인 경우 $a = 10$, $S _{4} = 40$ 그러므로 $S _{4} = 65$를 만족시키지 않는다. 공비 $r$는 $1$이 아닌 양수이므로 $\displaystyle S _{4} = \frac{a \left( r ^{4} - 1 \right)}{r - 1}$ $\displaystyle \frac{20}{1 + r} \times \frac{r ^{4} - 1}{r - 1}$$\displaystyle = \frac{20 \left( r ^{2} + 1 \right) \left( r ^{2} - 1 \right)}{r ^{2} - 1}$$= 20 \left( r ^{2} + 1 \right)$$= 65$ $\displaystyle r ^{2} + 1 = \frac{65}{20} = \frac{13}{4}$, $\displaystyle r ^{2} = \frac{9}{4}$ $r > 0$이므로 $\displaystyle r = \frac{3}{2}$ ㉠에 의하여 $a = 8$ 따라서 $\displaystyle a _{2} = ar = 8 \times \frac{3}{2} = 12$