등비수열 구간합 증명

다음은 등비수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항부터 제 $n$항까지의 합을 $S _{n}$이라 하고 $S _{n} = p$, $S _{2 n} = q$라 할 때, $S _{3 n}$을 $p$, $q$로 나타내는 과정이다.(단, $p \ne 0$, $q \ne 0$)

자연수 $n$에 대하여 $A = a _{1} + a _{2} + a _{3} + \cdots + a _{n}$$B = a _{n + 1} + a _{n + 2} + a _{n + 3} + \cdots + a _{2 n}$ $C = a _{2 n + 1} + a _{2 n + 2} + a _{2 n + 3} + \cdots + a _{3 n}$이라 하자. 등비수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공비를 $r$라 하면 $A$, $B$, $C$는 이 순서대로 공비가 (가) 인 등비수열을 이룬다. 등비중항의 성질에 의하여 $B ^{2} = AC$ 또한, $\displaystyle \begin{cases} A = S _{n} = p \\ B = S _{2 n} - S _{n} = q - p \\ C = S _{3 n} - S _{2 n} = S _{3 n} - q \end{cases}$ 따라서 $S _{3 n} =$(나) 이다.

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 것은? [3점] (가) (나) ①$r ^{n - 1}$ $\displaystyle \frac{( p - q ) ^{2}}{p}$②$r ^{n}$ $\displaystyle \frac{( p + q ) ^{2}}{p}$③$r ^{n}$ $\displaystyle \frac{p ^{2} - pq + q ^{2}}{p}$④$r ^{n}$ $\displaystyle \frac{p ^{2} + pq + q ^{2}}{p}$⑤$r ^{2 n}$ $\displaystyle \frac{p ^{2} - pq + q ^{2}}{p}$