대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

등비수열 곱의 로그

문제

공비가 rr이고 a2=1a _{2} = 1인 등비수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에서 첫째항부터 제 1010항까지의 곱을 ω=a1a2a3∙⋯∙a10\omega = a _{1} a _{2} a _{3} \bullet \cdots \bullet a _{10}이라 할 때, log⁡rω\log _{r} \omega의 값을 구하시오. (단, r>0r > 0이고 r≠1r \ne 1이다.) [3점]

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해설

an=arn−1a _{n} = ar ^{n - 1}로 놓으면 a2=ar=1a _{2} = ar = 1에서 a=1r\displaystyle a = \frac{1}{r} ∴log⁡rω=log⁡r(1r⋅1⋅r⋅⋯⋅r8)\displaystyle \therefore \log _{r} \omega = \log _{r} \left( \frac{1}{r} \cdot 1 \cdot r \cdot \cdots \cdot r ^{8} \right) =log⁡r(r2⋅r3⋅⋯⋅r8)= \log _{r} ( r ^{2} \cdot r ^{3} \cdot \cdots \cdot r ^{8} ) =log⁡rr2+3+⋯+8= \log _{r} r ^{2 + 3 + \cdots + 8}=log⁡rr7(2+8)2\displaystyle = \log _{r} r ^{\frac{7 ( 2 + 8 )}{2}} =log⁡rr35= \log _{r} r ^{35}=35= 35

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#등비수열#로그

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