등비수열 두 항의 곱

[출제의도] 등비수열의 규칙을 발견하고 항의 값을 구한다. 첫째항을 $a$, 공비를 $r$라 하자. $a _{2} = ar$ $a _{3} = ar ^{2}$ $a _{4} = ar ^{3}$이므로 $a _{1} a _{2} = 4$에서 $a \cdot ar = 4$이다. 즉 $a ^{2} r = 4$ $\cdots$㉠ 또, $a _{3} a _{4} = 8$에서 $ar ^{2} \cdot ar ^{3} = 8$이다. 즉 $a ^{2} r ^{5} = 8$ $\cdots$㉡ ㉡÷㉠을 계산하면 $\displaystyle \frac{a ^{2} r ^{5}}{a ^{2} r} = \frac{8}{4}$에서 $r ^{4} = 2$ $\cdots$㉢ $a _{5} = ar ^{4}$, $a _{6} = ar ^{5}$이므로 $a _{5} a _{6} = ar ^{4} \cdot ar ^{5}$$= a ^{2} r ^{9}$$= a ^{2} r \cdot r ^{8}$$= a ^{2} r \cdot ( r ^{4} ) ^{2}$$= 4 \cdot 2 ^{2}$$= 16$ [다른풀이] 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$이 등비수열이므로 공비를 $r$라 하면 $a _{3} = a _{1} r ^{2} , a _{4} = a _{2} r ^{2}$이므로 $a _{3} a _{4} = ( a _{1} r ^{2} ) ( a _{2} r ^{2} ) = a _{1} a _{2} r ^{4}$ $a _{5} = a _{3} r ^{2} , a _{6} = a _{4} r ^{2}$이므로 $a _{5} a _{6} = ( a _{3} r ^{2} ) ( a _{4} r ^{2} ) = a _{3} a _{4} r ^{4}$ $\displaystyle \frac{a _{3} a _{4}}{a _{1} a _{2}} = \frac{a _{1} a _{2} r ^{4}}{a _{1} a _{2}} = r ^{4}$ $\displaystyle \frac{a _{5} a _{6}}{a _{3} a _{4}} = \frac{a _{3} a _{4} r ^{4}}{a _{3} a _{4}} = r ^{4}$ 즉, $\displaystyle \frac{a _{3} a _{4}}{a _{1} a _{2}} = \frac{a _{5} a _{6}}{a _{3} a _{4}} = r ^{4}$(상수)이므로 세 수 $a _{1} a _{2}$, $a _{3} a _{4}$, $a _{5} a _{6}$는 등비수열을 이룬다. 한편, $\displaystyle \frac{a _{3} a _{4}}{a _{1} a _{2}} = \frac{8}{4} = 2$는 공비가 2이므로 $a _{5} a _{6} = 2 \times a _{3} a _{4}$$= 2 \times 8$$= 16$ [다른풀이] 첫째항을 $a$, 공비를 $r$라 하면 $a _{n} = ar ^{n-1}$ $b _{k} = a _{2k-1} a _{2k}$이라 하면 $b _{k} = ar ^{2k-2} \cdot ar ^{2k-1} = a ^{2} r ^{4k-3} = a ^{2} r \cdot ( r ^{4} ) ^{k-1}$ 즉, 수열 $\left\{ b _{k} \right\}$는 첫째항이 $a ^{2} r$, 공비가 $r ^{4}$인 등비수열이다. $b _{1} = 4$, $b _{2} = 8$이므로 공비는 $\displaystyle \frac{b _{2}}{b _{1}} = \frac{8}{4} = 2$이다. 즉 $b _{n} = 4 \times 2 ^{n - 1}$ $a _{5} a _{6} = b _{3}$이므로 구하는 값은 $4 \times 2 ^{2} = 16$