등비급수와 도형

그림과 같이 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} _{1} = 2$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} _{1} = 4$인 직사각형 $\mathrm{A} B _{1} C _{1} D _{1}$이 있다. 선분 $\mathrm{AD} _{1}$을 $3 : 1$로 내분하는 점을 $\mathrm{E} _{1}$이라 하고, 직사각형 $\mathrm{A} B _{1} C _{1} D _{1}$의 내부에 점 $\mathrm{F} _{1}$을 $\displaystyle \mathrm{\overline{F _{1} E _{1}}} = \overline{F _{1} C _{1}}$, $\displaystyle \mathrm{\angle} E _{1} F _{1} C _{1} = \frac{\pi}{2}$가 되도록 잡고 삼각형 $\mathrm{E} _{1} F _{1} C _{1}$을 그린다. 사각형 $\mathrm{E} _{1} F _{1} C _{1} D _{1}$을 색칠하여 얻은 그림을 $R _{1}$이라 하자. 그림 $R _{1}$에서 선분 $\mathrm{AB} _{1}$위의 점 $\mathrm{B} _{2}$, 선분 $\mathrm{E} _{1} F _{1}$ 위의 점 $\mathrm{C} _{2}$, 선분 $\mathrm{AE} _{1}$ 위의 점 $\mathrm{D} _{2}$와 점 $\mathrm{A}$를 꼭짓점으로 하고 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} _{2} : \overline{AD} _{2} = 1 : 2$인 직사각형 $\mathrm{AB} _{2} C _{2} D _{2}$를 그린다. 그림 $R _{1}$을 얻은 것과 같은 방법으로 직사각형 $\mathrm{A} B _{2} C _{2} D _{2}$에 삼각형 $\mathrm{E} _{2} F _{2} C _{2}$를 그리고 사각형 $\mathrm{E} _{2} F _{2} C _{2} D _{2}$를 색칠하여 얻은 그림을 $R _{2}$라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R _{n}$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S _{n}$이라 할 때, $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} S _{n}$의 값은? [4점]

①$\displaystyle \frac{441}{103}$②$\displaystyle \frac{441}{109}$③$\displaystyle \frac{441}{115}$④$\displaystyle \frac{441}{121}$⑤$\displaystyle \frac{441}{127}$