미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

등비급수와 도형

문제

그림과 같이 OA‾1=4,OB‾1=43\displaystyle \mathrm{\overline{OA}} _{1} = 4 , \overline{OB} _{1} = 4 \sqrt{3}인 직각삼각형 OA1B1\mathrm{OA} _{1} B _{1}이 있다. 중심이 O\mathrm{O}이고 반지름의 길이가 OA1‾\displaystyle \mathrm{\overline{OA _{1}}}인 원이 선분 OB1\mathrm{OB} _{1}과 만나는 점을 B2\mathrm{B} _{2}라 하자. 삼각형 OA1B1\mathrm{OA} _{1} B _{1}의 내부와 부채꼴 OA1B2\mathrm{OA} _{1} B _{2}의 내부에서 공통된 부분을 제외한 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1R _{1}에서 점 B2\mathrm{B} _{2}를 지나고 선분 A1B1\mathrm{A} _{1} B _{1}에 평행한 직선이 선분 OA1\mathrm{OA} _{1}과 만나는 점을 A2,\mathrm{A} _{2} , 중심이 O\mathrm{O}이고 반지름의 길이가 OA‾2\displaystyle \mathrm{\overline{OA}} _{2}인 원이 선분 OB2\mathrm{OB} _{2}와 만나는 점을 B3\mathrm{B} _{3}이라 하자. 삼각형 OA2B2\mathrm{OA} _{2} B _{2}의 내부와 부채꼴 OA2B3\mathrm{OA} _{2} B _{3}의 내부에서 공통된 부분을 제외한 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 RnR _{n}에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}의 값은? [4점]

①32π\displaystyle \frac{3}{2} \pi②53π\displaystyle \frac{5}{3} \pi③116π\displaystyle \frac{11}{6} \pi④2π2 \pi⑤136π\displaystyle \frac{13}{6} \pi

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④

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해설

[출제의도] 등비급수의 합을 이용하여 도형의 넓이에 대한 극한값을 구할 수 있는가? 그림 R1R _{1}에서 부채꼴 OA1B2OA _{1} B _{2}의 호 A1B2A _{1} B _{2}와 선분 A1B1A _{1} B _{1}이 만나는 점을 C1C _{1}이라 하자.

∠C1OA1=60∘\angle C _{1} OA _{1} = 60 ^\circ이므로 부채꼴 C1OA1C _{1} OA _{1}의 넓이와 삼각형 C1OA1C _{1} OA _{1}의 넓이의 차는 16π×16−34×16=83π−43⋯㉠\displaystyle 16 \pi \times \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4} \times 16 = \frac{8}{3} \pi - 4 \sqrt{3} \cdots \text{㉠} 또, ∠C1OB1=30∘\angle C _{1} OB _{1} = 30 ^\circ이므로 삼각형 C1OB1C _{1} OB _{1}의 넓이와 부채꼴 C1OB1C _{1} OB _{1}의 넓이의 차는 12×43×2−16π×112=43−43π⋯㉡\displaystyle \frac{1}{2} \times 4 \sqrt{3} \times 2 - 16 \pi \times \frac{1}{12} = 4 \sqrt{3} - \frac{4}{3} \pi \cdots \text{㉡} ㉠, ㉡에서 S1=(83π−43)+(43−43π)=43π\displaystyle S _{1} = \left( \frac{8}{3} \pi - 4 \sqrt{3} \right) + \left( 4 \sqrt{3} - \frac{4}{3} \pi \right) = \frac{4}{3} \pi 한편, 삼각형 OA1B1OA _{1} B _{1}과 삼각형 OA2B2OA _{2} B _{2}의 닮음비는 OB1‾:OB2‾=43:4=3:1\displaystyle {\overline{OB _{1}}} : {\overline{OB _{2}}} = 4 \sqrt{3} : 4 = \sqrt{3} : 1 따라서 lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} S _{n}은 첫째항이 43π\displaystyle \frac{4}{3} \pi이고, 공비가 (13)2=13\displaystyle \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) ^{2} = \frac{1}{3}인 등비급수이므로 lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} S _{n}=43π1−13=2π\displaystyle = \frac{\frac{4}{3} \pi}{1 - \frac{1}{3}} = 2 \pi

태그

#등비급수#닮음

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