등비급수와 등차수열

등차수열 $\left\{ b _{n} \right\}$에 대하여 조건 (가)에서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{9} b _{n} = \frac{9 \left( b _{1} + b _{9} \right)}{2} = 9 b _{5}$ $\displaystyle \sum\limits _{n = 2} ^{8} b _{n} = \frac{7 \left( b _{2} + b _{8} \right)}{2} = 7 b _{5}$ 이므로 $a _{1} = 9 b _{5}$ $\displaystyle a _{1} + a _{2} = \frac{3}{7} \times 7 b _{5} = 3 b _{5}$ 이때 등비수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공비를 $r$이라 하면 $a _{2} = a _{1} \times r = 9 b _{5} r$ 이므로 $9 b _{5} + 9 b _{5} r = 3 b _{5}$ 모든 항이 $0$이 아닌 등차수열 $\left\{ b _{n} \right\}$에 대하여 $b _{5} \neq 0$이므로 $9 + 9 r = 3$, $9 r = - 6$ $\therefore$ $\displaystyle r = - \frac{2}{3}$ 한편 조건 (나)에서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} = \frac{a _{1}}{1 - r} = \frac{9 b _{5}}{1 - \left( - \frac{2}{3} \right)} = \frac{27}{5} b _{5}$ 이고 등차수열 $\left\{ b _{n} \right\}$의 공차를 $d$ ($d$는 정수, $d \ne 0$)이라 하면 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{2}{b _{n} b _{n + 1}}$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{2}{d} \left( \frac{1}{b _{n}} - \frac{1}{b _{n + 1}} \right)$ $\displaystyle = \frac{2}{d} \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left( \frac{1}{b _{k}} - \frac{1}{b _{k + 1}} \right)$ $\displaystyle = \frac{2}{d} \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left( \frac{1}{b _{1}} - \frac{1}{b _{n + 1}} \right)$ 이때 $d \neq 0$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{1}{b _{n + 1}} = 0$ 즉 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{2}{b _{n} b _{n + 1}} = \frac{2}{db _{1}}$이므로 조건 (나)에서 $\displaystyle \frac{27}{5} b _{5} = 16 - \frac{2}{db _{1}}$, $27 db _{1} b _{5} = 80 db _{1} - 10$ $\therefore$ $db _{1} \left( 80 - 27 b _{5} \right) = 10$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 이때 수열 $\left\{ b _{n} \right\}$의 모든 항이 $0$이 아닌 정수이므로 $b _{1}$, $b _{5}$, $d$는 모두 정수이다. 즉 $80 - 27 b _{5} = - 10$ 또는 $80 - 27 b _{5} = - 5$ 또는 $80 - 27 b _{5} = - 2$ 또는 $80 - 27 b _{5} = - 1$ 또는 $80 - 27 b _{5} = 1$ 또는 $80 - 27 b _{5} = 2$ 또는 $80 - 27 b _{5} = 5$ 또는 $80 - 27 b _{5} = 10$ 이므로 $\displaystyle b _{5} = \frac{10}{3}$ 또는 $\displaystyle b _{5} = \frac{85}{27}$ 또는 $\displaystyle b _{5} = \frac{82}{27}$ 또는 $b _{5} = 3$ 또는 $\displaystyle b _{5} = \frac{79}{27}$ 또는 $\displaystyle b _{5} = \frac{26}{9}$ 또는 $\displaystyle b _{5} = \frac{25}{9}$ 또는 $\displaystyle b _{5} = \frac{70}{27}$ $b _{5}$는 정수이므로 $b _{5} = 3$ 이때 $db _{1} \times \left( - 1 \right) = 10$이고 $b _{5} = b _{1} + 4 d = 3$ 에서 $b _{1} = 3 - 4 d$이므로 $- d \left( 3 - 4 d \right) = 10$, $4 d ^{2} - 3 d - 10 = 0$ $\left( 4 d + 5 \right) \left( d - 2 \right) = 0$ $\therefore$ $\displaystyle d = - \frac{5}{4}$ 또는 $d = 2$ $d$는 정수이므로 $d = 2$ 즉 $b _{1} = 3 - 4 \times 2 = - 5$ 이므로 $b _{n} = - 5 + \left( n - 1 \right) \times 2 = 2 n - 7$ 이때 $b _{n} = 0$을 만족시키는 자연수 $n$이 존재하지 않으므로 등차수열 $\left\{ b _{n} \right\}$의 모든 항이 $0$이 아닌 정수라는 조건을 만족시킨다. 따라서 $\displaystyle a _{3} = a _{1} r ^{2} = 9 b _{5} \times \left( - \frac{2}{3} \right) ^{2} = 9 \times 3 \times \frac{4}{9} = 12$ $b _{10} = 2 \times 10 - 7 = 13$ 이므로 $a _{3} + b _{10} = 12 + 13 = 25$