미적분Ⅱ급수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

등비급수로 첫째항

문제

공비가 양수인 등비수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 a1+a2=20a _{1} + a _{2} = 20, ∑n=3∞an=43\displaystyle \sum\limits _{n = 3} ^{\infty} a _{n} = \frac{4}{3} 를 만족시킬 때, a1a _{1}의 값을 구하시오. [3점]

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해설

등비수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 첫째항을 aa, 공비를 rr이라 하면 an=a⋅rn−1a _{n} = a \cdot r ^{n - 1} a1+a2=a+ar=20⋯①a _{1} + a _{2} = a + ar = 20 \cdots \text{①} ∑n=3∞an=43\displaystyle \sum\limits _{n = 3} ^{\infty} a _{n} = \frac{4}{3}으로 수렴하므로 −1<r<1- 1 < r < 1이고 $\sum\limits _{n = 3} ^{\infty} a _{n} = \frac{a _{3}}{1 - r} = \frac{ar ^{2}}{1 - r} = \frac{4}{3} \cdots \text{ ②}$ ①과 ②를 연립하면 16r2=116 r ^{2} = 1 ∴r=14\displaystyle \therefore r = \frac{1}{4} (∵\because 조건에 의하여 공비 r>0r > 0) 이 값을 ①에 대입하여 풀면 54a=20\displaystyle \frac{5}{4} a = 20 ∴a=16\therefore a = 16

태그

#무한등비급수#등비수열

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