등비급수 조건

[출제의도] 조건을 만족시키는 급수의 합을 구할 수 있는가 등비수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 일반항을 $a _{n} = a _{1} r ^{n - 1}$ 이라 하자. 이때 주어진 조건을 만족시키기 위해서는 $a _{1} \ne 0$이다. (ⅰ) $r > 1$인 경우 $a _{n}$의 절댓값이 한없이 커지므로 주어진 조건을 만족시킬 수 없다. (ⅱ) $r = 1$인 경우 $a _{n}$의 값이 일정한 값을 가지므로 주어진 조건을 만족시킬 수 없다. (ⅲ) $r = \mathit{-} 1$인 경우 $a _{n}$의 값이 $a _{1}$, $- a _{1}$, $a _{1}$, $- a _{1}$, $a _{1}$, $\cdots$이 반복되므로 주어진 조건을 만족시킬 수 없다. (ⅳ) $r < {-} 1$인 경우 $a _{n}$의 절댓값이 한없이 커지므로 주어진 조건을 만족시킬 수 없다. (ⅴ) $r = 0$인 경우 $a _{n}$의 값이 첫째항을 제외하고 모두 $0$이므로 주어진 조건을 만족시킬 수 없다. 따라서 $- 1 < r < 0$ 또는 $0 < r < 1$이다. 그런데 $b _{3}$$= \mathit{-} 1$이므로 $a _{3} {\leq} - 1$이다. 즉, $a _{1} r ^{2} {\leq} - 1$이다. 그런데 $0 < r ^{2} < 1$이므로 $a _{1} {\leq} - 1$ 따라서 $b _{1} = \mathit{-} 1$이다. 또한 $a _{1} {\leq} - 1$이므로 $0 < r < 1$이면 $a _{n}$의 모든 항은 음수이므로 주어진 조건을 만족시킬 수 없다. 따라서 $- 1 < r < 0$이다. ① $a _{2} = a _{1} r {\leq} - 1$일 때 $\displaystyle r {\geq} - \frac{1}{a _{1}} > 0$이므로 모순이다. 따라서 $a _{2} = a _{1} r > {- 1}$이므로 $b _{2} = a _{2} = a _{1} r$ ② $b _{3} = \mathit{-} 1$이므로 $a _{3} = a _{1} r ^{2} {\leq} - 1$ ③ $a _{4} = a _{1} r ^{3} {\leq} - 1$일 때 $a _{4} = a _{1} r ^{3}$$= a _{1} r ^{2} {\times} r$${\geq} - r$$> 0$ 이므로 모순이다. 즉 $a _{4} > {- 1}$이므로 $b _{4} = a _{4} = a _{1} r ^{3}$ ④ $a _{5} = a _{1} r ^{4} {\leq} - 1$일 때 $b _{5} = \mathit{-} 1$ 인데 $b _{1} + b _{3} + b _{5} = \mathit{-} 3$ 이므로 조건 (가)에 의하여 모순이다. $b _{5} = a _{5} = a _{1} r ^{4}$ ⑤ $a _{6} = a _{4} r ^{2}$이고 $a _{4} > {- 1}$이므로 $a _{6} > {- r ^{2}} > {- 1}$ 따라서 $b _{6} = a _{6} = a _{1} r ^{5}$ 같은 방법으로 생각하면 $b _{7} = a _{7}$, $b _{8} = a _{8}$, $b _{9} = a _{9}$, $\cdots$이므로 $\displaystyle b _{n} = {\begin{cases} - 1 & \left( n = 1 , n = 3 \right) \\ a _{1} r ^{n - 1} & \left( n = 2 , n {\geq} 4 \right) \end{cases}}$ 이다. 조건 (가)에서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{2 n - 1}$$= \mathit{-} 1 + \left( - 1 \right) + a _{1} r ^{4} + a _{1} r ^{6} + a _{1} r ^{8} + \cdots$ $\displaystyle = \mathit{-} 2 + \frac{a _{1} r ^{4}}{1 - r ^{2}} = \mathit{-} 3$ $\displaystyle \frac{a _{1} r ^{4}}{1 - r ^{2}} = \mathit{-} 1$ $a _{1} r ^{4} = r ^{2} - 1$ $\cdots \cdots$ ㉠ 조건 (나)에서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{2 n}$$= a _{1} r + a _{1} r ^{3} + a _{1} r ^{5}$$+ \cdots$$\displaystyle = \frac{a _{1} r}{1 - r ^{2}} = 8$ $a _{1} r = 8 - 8 r ^{2}$$= 8 \left( 1 - r ^{2} \right)$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $a _{1} r = \mathit{-} 8 a _{1} r ^{4}$ 이므로 $\displaystyle r ^{3} = \mathit{-} \frac{1}{8}$ 즉 $\displaystyle r = \mathit{-} \frac{1}{2}$이므로 ㉡에 대입하면 $\displaystyle - \frac{1}{2} a _{1} = 6$, $a _{1} = \mathit{-} 12$ 따라서 $\displaystyle a _{n} = \mathit{-} 12 \left( - \frac{1}{2} \right) ^{n - 1}$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} | a _{n} |$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left| - 12 \left( - \frac{1}{2} \right) ^{n - 1} \right|$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} 12 \left( \frac{1}{2} \right) ^{n - 1}$$\displaystyle = \frac{12}{1 - \frac{1}{2}}$ $= 24$