미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

등비급수 증명 빈칸

문제

다음은 33이 아닌 양수 pp에 대하여 ∑n=1∞pn+3pn−1+32pn−2+⋯+3n−1p+3n(p+3)n=p2+3p+□(다)3p\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{p ^{n} + 3 p ^{n - 1} + 3 ^{2} p ^{n - 2} + \cdots + 3 ^{n - 1} p + 3 ^{n}}{( p + 3 ) ^{n}} = \frac{p ^{2} + 3 p + {\square {( \text{다} )}}}{3 p} 가 성립함을 보이는 과정이다.

pn+3pn−1+32pn−2+⋯+3n−1p+3np ^{n} + 3 p ^{n - 1} + 3 ^{2} p ^{n - 2} + \cdots + 3 ^{n - 1} p + 3 ^{n}은 첫째항이 pnp ^{n}, 공비가 □(가)\square {( \text{가} )}인 등비수열의 첫째항부터 제(n+1)( n + 1 )항까지의 합이고, p≠3p \ne 3이므로 pn+3pn−1+32pn−2+⋯+3n−1p+3np ^{n} + 3 p ^{n - 1} + 3 ^{2} p ^{n - 2} + \cdots + 3 ^{n - 1} p + 3 ^{n} =pn+1−3n+1□(나)\displaystyle = \frac{p ^{n + 1} - 3 ^{n + 1}}{{\square {( \text{나} )}}} 이다. 0<pp+3<1\displaystyle 0 < \frac{p}{p + 3} < 1, 0<3p+3<1\displaystyle 0 < \frac{3}{p + 3} < 1이므로 ∑n=1∞pn+3pn−1+32pn−2+⋯+3n−1p+3n(p+3)n\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{p ^{n} + 3 p ^{n - 1} + 3 ^{2} p ^{n - 2} + \cdots + 3 ^{n - 1} p + 3 ^{n}}{( p + 3 ) ^{n}} =∑n=1∞pn+1−3n+1(□(나))×(p+3)n\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{p ^{n + 1} - 3 ^{n + 1}}{\left( {\square {( \text{나} )}} \right) \times ( p + 3 ) ^{n}} =1□(나){p∑n=1∞(pp+3)n−3∑n=1∞(3p+3)n}\displaystyle = \frac{1}{{\square {( \text{나} )}}} \left\{ p \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{p}{p + 3} \right) ^{n} - 3 \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{3}{p + 3} \right) ^{n} \right\} =p2+3p+□(다)3p\displaystyle = \frac{p ^{2} + 3 p + {\square {( \text{다} )}}}{3 p} 이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f(p)f \left( p \right), g(p)g \left( p \right)라 하고, (다)에 알맞은 수를 kk라 할 때, f(k)×g(k)f ( k ) \times g ( k )의 값은? [4점] ①22②44③66④88⑤1010

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①

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해설

[출제의도] 등비급수의 합 추론하기 pn+3pn−1+32pn−2+⋯+3n−1p+3np ^{n} + 3 p ^{n - 1} + 3 ^{2} p ^{n - 2} + \cdots + 3 ^{n - 1} p + 3 ^{n}은 첫째항이 pnp ^{n}, 공비가 □3p\displaystyle {\square {\frac{3}{p}}}인 등비수열의 첫째항부터 제(n+1)( n + 1 )항까지의 합이고, p≠3p \ne 3이므로 pn+3pn−1+32pn−2+⋯+3n−1p+3np ^{n} + 3 p ^{n - 1} + 3 ^{2} p ^{n - 2} + \cdots + 3 ^{n - 1} p + 3 ^{n} =pn+1−3n+1□p−3\displaystyle = \frac{p ^{n + 1} - 3 ^{n + 1}}{{\square {p - 3}}}이다. 0<pp+3<1\displaystyle 0 < \frac{p}{p + 3} < 1, 0<3p+3<1\displaystyle 0 < \frac{3}{p + 3} < 1이므로 ∑n=1∞pn+3pn−1+32pn−2+⋯+3n−1p+3n(p+3)n\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{p ^{n} + 3 p ^{n - 1} + 3 ^{2} p ^{n - 2} + \cdots + 3 ^{n - 1} p + 3 ^{n}}{( p + 3 ) ^{n}} =∑n=1∞pn+1−3n+1(□p−3)×(p+3)n\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{p ^{n + 1} - 3 ^{n + 1}}{\left( {\square {p - 3} )} \times ( p + 3 ) ^{n} \right.} =1□p−3{p∑n=1∞(pp+3)n−3∑n=1∞(3p+3)n}\displaystyle = \frac{1}{{\square {p - 3}}} \left\{ p \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{p}{p + 3} \right) ^{n} - 3 \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{3}{p + 3} \right) ^{n} \right\} =p2+3p+□93p\displaystyle = \frac{p ^{2} + 3 p + {\square {9}}}{3 p} 이다. f(p)=3p\displaystyle f ( p ) = \frac{3}{p}, g(p)=p−3g ( p ) = p - 3, k=9k = 9 따라서 f(9)×g(9)=2{f ( 9 )} \times {g ( 9 )} = 2

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