미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

등비급수 도형 넓이

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 44인 정사각형 A1B1C1D1{\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D _{1}}이 있다. 선분 C1D1{\mathrm{C} _{1} D _{1}}의 중점을 E1{\mathrm{E} _{1}}이라 하고, 직선 A1B1{\mathrm{A} _{1} B _{1}} 위에 두 점 F1{\mathrm{F} _{1}}, G1{\mathrm{G} _{1}}을 E1F1‾=E1G1‾\displaystyle \overline{{\mathrm{E} _{1} F _{1}}} = \overline{{\mathrm{E} _{1} G _{1}}}, E1F1‾:F1G1‾=5:6\displaystyle \overline{{\mathrm{E} _{1} F _{1}}} : \overline{{\mathrm{F} _{1} G _{1}}} = 5 : 6이 되도록 잡고 이등변삼각형 E1F1G1{\mathrm{E} _{1} F _{1} G _{1}}을 그린다. 선분 D1A1{\mathrm{D} _{1} A _{1}} _{}과 선분 E1F1{\mathrm{E} _{1} F _{1}}의 교점을 P1{\mathrm{P} _{1}}, 선분 B1C1{\mathrm{B} _{1} C _{1}}과 선분 G1E1{\mathrm{G} _{1} E _{1}}의 교점을 Q1{\mathrm{Q} _{1}}이라 할 때, 네 삼각형 E1D1P1{\mathrm{E} _{1} D _{1} P _{1}}, P1F1A1{\mathrm{P} _{1} F _{1} A _{1}}, Q1B1G1{\mathrm{Q} _{1} B _{1} G _{1}}, E1Q1C1{\mathrm{E} _{1} Q _{1} C _{1}}로 만들어진 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1{R _{1}}에 선분 F1G1{\mathrm{F} _{1} G _{1}} 위의 두 점 A2{\mathrm{A} _{2}}, B2{\mathrm{B} _{2}}와 선분 G1E1{\mathrm{G} _{1} E _{1}} 위의 점 C2{\mathrm{C} _{2}}, 선분 E1F1{\mathrm{E} _{1} F _{1}} 위의 점 D2{\mathrm{D} _{2}}를 꼭짓점으로 하는 정사각형 A2B2C2D2{\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2}}를 그리고, 그림 R1R _{1}을 얻는 것과 같은 방법으로 정사각형 A2B2C2D2{\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2}}에 모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 RnR _{n}에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} S _{n}의 값은? [4점]

①616\displaystyle \frac{61}{6}②12512\displaystyle \frac{125}{12}③323\displaystyle \frac{32}{3}④13112\displaystyle \frac{131}{12}⑤676\displaystyle \frac{67}{6}

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②

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해설

[출제의도] 등비급수의 합을 이용하여 도형의 넓이에 대한 극한값을 구할 수 있는가? 그림 R1\mathrm{R} _{1}의 점 E1\mathrm{E} _{1}에서 변 A1B1\mathrm{A} _{1} B _{1}에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라 하자.

E1D1‾=12D1C1‾=12×4=2\displaystyle \mathrm{\overline{E _{1} D _{1}} = \frac{1}{2} \overline{D _{1} C _{1}} = \frac{1}{2} \times 4 = 2} E1H‾=D1A1‾=4\displaystyle \mathrm{\overline{E _{1} H}} = \overline{D _{1} A _{1}} = 4 E1F1‾=5a\displaystyle \mathrm{\overline{E _{1} F _{1}}} = \mathit{5} a라 놓으면 E1F1‾:F1G1‾=5:6\displaystyle \mathrm{\overline{E _{1} F _{1}}} : \overline{F _{1} G _{1}} = 5 : 6이므로 F1G1‾=6a\displaystyle \mathrm{\overline{F _{1} G _{1}}} = \mathit{6} a 즉, F1H‾=12F1G1‾=3a\displaystyle \mathrm{\overline{F _{1} H}} = \frac{1}{2} \overline{F _{1} G _{1}} = \mathit{3} a 직각삼각형 E1F1H\mathrm{E} _{1} F _{1} H에서 (5a)2=42+(3a)2\left( 5 a \right) ^{2} = 4 ^{2} + \left( 3 a \right) ^{2} 즉, 16a2=1616 a ^{2} = 16에서 a>0a > 0이므로 a=1a = 1 F1H‾=3\displaystyle \mathrm{\overline{F _{1} H}} = 3이고, A1H‾=2\displaystyle \mathrm{\overline{A _{1} H}} = 2이므로 F1A1‾=3−2=1\displaystyle \mathrm{\overline{F _{1} A _{1}}} = 3 - 2 = 1 삼각형 D1P1E1\mathrm{D} _{1} P _{1} E _{1}과 삼각형 A1P1F1\mathrm{A} _{1} P _{1} F _{1}이 닮음이고 D1E1‾=2,A‾1F1=1\displaystyle \mathrm{\overline{D _{1} E _{1}}} = 2 , \overline{A} _{1} F _{1} = 1이므로 닮음비는 2:12 : 1 즉, D1P1‾=23×4=83,A1P1‾=13×4=43\displaystyle \mathrm{\overline{D _{1} P _{1}}} = \frac{2}{3} \times 4 = \frac{8}{3} , \overline{A _{1} P _{1}} = \frac{1}{3} \times 4 = \frac{4}{3} E1F1‾=E1G1‾\displaystyle \mathrm{\overline{E _{1} F _{1}}} = \overline{E _{1} G _{1}}이므로 삼각형 D1P1E1\mathrm{D} _{1} P _{1} E _{1}과 삼각형 C1Q1E1\mathrm{C} _{1} Q _{1} E _{1}이 합동이고 삼각형 A1P1F1\mathrm{A} _{1} P _{1} F _{1}과 삼각형 B1Q1G1\mathrm{B} _{1} Q _{1} G _{1}이 합동이므로 S1=2×12×2×83+2×12×1×43=203\displaystyle \mathrm{S} _{1} = 2 \times \frac{1}{2} \times 2 \times \frac{8}{3} + 2 \times \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{4}{3} = \frac{20}{3} 그림 R2\mathrm{R} _{2}의 점 E1\mathrm{E} _{1}에서 변 D2C2\mathrm{D} _{2} C _{2}에 내린 수선의 발을 H1\mathrm{H} _{1}이라 하자.

정사각형 A2B2C2D2\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2}의 한 변의 길이를 xx라 놓으면 D2H1‾=x2,E1H1‾=4−x\displaystyle \mathrm{\overline{D _{2} H _{1}}} = \frac{\mathit{x}}{2} , \mathrm{\overline{E _{1} H _{1}}} = \mathit{4} - x 삼각형 E1F1H\mathrm{E} _{1} F _{1} H와 삼각형 E1D2H1\mathrm{E} _{1} D _{2} H _{1}은 닮음이므로 3:4=x2:4−x\displaystyle 3 : 4 = \frac{x}{2 : 4 - x} 즉, 2x=12−3x2 x = 12 - 3 x에서 x=125\displaystyle x = \frac{12}{5} 정사각형 A1B1C1D1\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D _{1}과 정사각형 A2B2C2D2\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2}의 닮음비는 4:125=1:35\displaystyle 4 : \frac{12}{5} = 1 : \frac{3}{5} 따라서 lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \mathrm{\mathrm{S}} _{n}은 첫째항이 203\displaystyle \frac{20}{3}이고, 공비가 (35)2\displaystyle \left( \frac{3}{5} \right) ^{2}인 등비급수이므로 lim⁡n→∞Sn=2031−925\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} {{\mathrm{S}} _{n}} = \frac{\frac{20}{3}}{1 - \frac{9}{25}}=12512\displaystyle = \frac{125}{12}

태그

#등비급수#닮음비#도형

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