등비급수 최솟값

등차수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공차를 $d$, 등비수열 $\left\{ b _{n} \right\}$의 공비를 $r$이라 하자. 모든 항이 양수인 등비수열 $\left\{ b _{n} \right\}$의 급수가 수렴하므로 $0 < r < 1$이다. 조건 (가)에서 $a _{1} = b _{1}$이고 $a _{4} = a _{1} + 3 d = b _{2} = a _{1} r$이므로 $3 d = a _{1} \left( r - 1 \right)$ $\displaystyle r - 1 = \frac{3 d}{a _{1}}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 조건 (나)에서 어떤 자연수 $k$에 대하여 $a _{k} = a _{1} + \left( k - 1 \right) d = b _{3} = a _{1} r ^{2}$ 이므로 $\left( k - 1 \right) d = a _{1} \left( r ^{2} - 1 \right) = a _{1} \left( r - 1 \right) \left( r + 1 \right)$ 이 식에 ㉠을 대입하면 $\left( k - 1 \right) d = 3 d \left( r + 1 \right)$ 이때 $d = 0$이면 $r = 1$이 되어 급수가 발산하므로 $d \neq 0$이다. $k - 1 = 3 \left( r + 1 \right)$, $\displaystyle r + 1 = \frac{k - 1}{3}$ $\therefore$ $\displaystyle r = \frac{k - 4}{3}$ $0 < r < 1$에서 $\displaystyle 0 < \frac{k - 4}{3} < 1$, $4 < k < 7$ $k$는 자연수이므로 $k = 5$ 또는 $k = 6$ (ⅰ) $k = 5$일 때 $\displaystyle r = \frac{5 - 4}{3} = \frac{1}{3}$이고 ㉠에서 $\displaystyle 3 d = a _{1} \left( \frac{1}{3} - 1 \right) = - \frac{2}{3} a _{1}$이므로 $9 d = - 2 a _{1}$ 이때 모든 항이 정수이므로 $a _{1}$은 $9$의 배수이다. 조건 (가)에서 $a _{1} = b _{1} > 0$이므로 $a _{1} = 9 l$ ($l$은 자연수)라 하면 $d = - 2 l$이고 $\cos \left( a _{n} \pi \right)$$= \left( - 1 \right) ^{a _{1} + \left( n - 1 \right) d}$$= \left( - 1 \right) ^{9 l + \left( n - 1 \right) \left( - 2 l \right)}$ 이때 $9 l - 2 l \left( n - 1 \right) = l \left( 11 - 2 n \right)$에서 $11 - 2 n$은 항상 홀수이므로 $\cos \left( a _{n} \pi \right) = \left( - 1 \right) ^{l}$ $\therefore$ $\displaystyle \left| \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left\{ b _{n} \cos \left( a _{n} \pi \right) \right\} \right|$$\displaystyle = \left| \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left\{ 9 l \times \left( \frac{1}{3} \right) ^{n - 1} \times \left( - 1 \right) ^{l} \right\} \right|$ $\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left\{ 9 l \times \left( \frac{1}{3} \right) ^{n - 1} \right\}$$\displaystyle = \frac{9 l}{1 - \frac{1}{3}}$$\displaystyle = \frac{27}{2} l$ 따라서 $\displaystyle \left| \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left\{ b _{n} \cos \left( a _{n} \pi \right) \right\} \right|$의 최솟값은 $l = 1$일 때 $\displaystyle \frac{27}{2}$이다. (ⅱ) $k = 6$일 때 $\displaystyle r = \frac{6 - 4}{3} = \frac{2}{3}$이고 ㉠에서 $\displaystyle 3 d = a _{1} \left( \frac{2}{3} - 1 \right) = - \frac{1}{3} a _{1}$이므로 $9 d = - a _{1}$ 이때 모든 항이 정수이므로 $a _{1}$은 $9$의 배수이다. 조건 (가)에서 $a _{1} = b _{1} > 0$이므로 $a _{1} = 9 l$ ($l$은 자연수)라 하면 $d = - l$이고 $\cos \left( a _{n} \pi \right) = \left( - 1 \right) ^{9 l + \left( n - 1 \right) \left( - l \right)} = \left( - 1 \right) ^{l \left( 10 - n \right)}$ 에서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left\{ b _{n} \cos \left( a _{n} \pi \right) \right\} = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left\{ 9 l \times \left( \frac{2}{3} \right) ^{n - 1} \times \left( - 1 \right) ^{l \left( 10 - n \right)} \right\}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ (a) $l$이 짝수이면 $\left( - 1 \right) ^{l \left( 10 - n \right)} = 1$이므로 ㉡은 첫째항이 $9 l$이고 공비가 $\displaystyle \frac{2}{3}$인 등비급수이다. $\therefore$ $\displaystyle \left| \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left\{ b _{n} \cos \left( a _{n} \pi \right) \right\} \right| = \frac{9 l}{1 - \frac{2}{3}} = 27 l$ 따라서 $\displaystyle \left| \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left\{ b _{n} \cos \left( a _{n} \pi \right) \right\} \right|$의 최솟값은 $l = 2$일 때 $54$이다. (b) $l$이 홀수이면 $\left( - 1 \right) ^{l \left( 10 - n \right)} = \left( - 1 \right) ^{10 - n} = \left( - 1 \right) ^{n}$이므로 ㉡은 첫째항이 $9 l \times \left( - 1 \right) ^{9 l} = - 9 l$, 공비는 $\displaystyle - \frac{2}{3}$인 등비급수이다. $\therefore$ $\displaystyle \left| \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left\{ b _{n} \cos \left( a _{n} \pi \right) \right\} \right|$$\displaystyle = \left| \frac{- 9 l}{1 - \left( - \frac{2}{3} \right)} \right|$$\displaystyle = \frac{27}{5} l$ 따라서 $\displaystyle \left| \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left\{ b _{n} \cos \left( a _{n} \pi \right) \right\} \right|$의 최솟값은 $l = 1$일 때 $\displaystyle \frac{27}{5}$이다. (ⅰ), (ⅱ)에서 $\displaystyle \left| \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left\{ b _{n} \cos \left( a _{n} \pi \right) \right\} \right|$의 최솟값은 $\displaystyle m = \frac{27}{5}$ 이므로 $\displaystyle 10 \times m = 10 \times \frac{27}{5} = 54$