미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

닫힌구간 최대최소

문제

닫힌구간 $\left[ 1 , 3 \right]$ 에서 함수 $f \left( x \right) = 2 x ^{3} - 3 x ^{2} - 12 x + a$ 가 최댓값 $M$ , 최솟값 $4$ 를 가질 때, $M$ 의 값은? (단, $a$ 는 상수이다.) [4점] ① $13$ ② $14$ ③ $15$ ④ $16$ ⑤ $17$

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③

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해설

$f' \left( x \right) = 6 x ^{2} - 6 x - 12 = 6 \left( x + 1 \right) \left( x - 2 \right)$ $f' \left( x \right) = 0$ 에서 $x = - 1$ 또는 $x = 2$ 함수 $f \left( x \right)$ 의 증가와 감소를 표로 나타내면

$x$	$\cdots$	$- 1$	$\cdots$	$2$	$\cdots$
$f' \left( x \right)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f \left( x \right)$	$\nearrow$	극대	$\searrow$	극소	$\nearrow$

닫힌구간 $\left[ 1 , 3 \right]$ 에서 함수 $f \left( x \right)$ 의 최솟값은 $f \left( 2 \right) = 16 - 12 - 24 + a = - 20 + a = 4$ $a = 24$ $f \left( x \right) = 2 x ^{3} - 3 x ^{2} - 12 x + 24$ 이므로 $f \left( 1 \right) = 2 - 3 - 12 + 24 = 11$ $f \left( 3 \right) = 54 - 27 - 36 + 24 = 15$ 닫힌구간 $\left[ 1 , 3 \right]$ 에서 함수 $f \left( x \right)$ 의 최댓값은 $15$ 이므로 $M = 15$

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