기하평면벡터수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

단위원 위 벡터 합 영벡터

문제

중심이 O\mathrm{O}이고 반지름의 길이가 11인 원이 있다. 양수 xx에 대하여 원 위의 서로 다른 세 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}, C\mathrm{C}가 xOA⃗+5OB⃗+3OC⃗=0⃗x \mathrm{\vec{OA}} \mathit{+} 5 \mathrm{\vec{OB}} \mathit{+} 3 \mathrm{\vec{OC}} \mathit{=} {\vec{0}} 를 만족시킨다. OA⃗∙OB⃗\mathrm{\vec{OA}} \bullet \mathit{\mathrm{\vec{OB}}}의 값이 최대일 때, 삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 넓이를 SS라 하자. 50S50 S의 값을 구하시오. [4점]

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60

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해설

[출제의도] 평면벡터의 내적을 활용하여 삼각형의 넓이 추론하기 세 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}, C\mathrm{C}는 원 위의 점이므로 ∣OA⃗∣=∣OB⃗∣=∣OC⃗∣=1\mathrm{\left| {\vec{OA}} \right|} = \left| {\vec{OB}} \right| = \left| {\vec{OC}} \right| = 1 xOA⃗+5OB⃗=−3OC⃗x \mathrm{\vec{OA}} \mathit{+} 5 \mathrm{\vec{OB}} \mathit{=} - 3 \mathrm{\vec{OC}}에서 x2∣OA⃗∣2+10x(OA⃗∙OB⃗)+25∣OB⃗∣2x ^{2} \mathrm{\left| {\vec{OA}} \right|} ^{2} \mathit{+} 10 x \mathrm{\left( \mathrm{\vec{OA}} \bullet {\vec{OB}} \right)} + 25 \mathrm{\left| {\vec{OB}} \right|} ^{2}=9∣OC⃗∣2= 9 \mathrm{\left| {\vec{OC}} \right|} ^{2} x2+10x(OA⃗∙OB⃗)+25=9x ^{2} + 10 x \left( \mathrm{\vec{OA}} \bullet {\vec{OB}} \right) + 25 = 9이고 OA⃗∙OB⃗=−x2−1610x\displaystyle \mathrm{\vec{OA}} \bullet {\vec{OB}} \mathit{=} \frac{- x ^{2} - 16}{10 x}=−110(x+16x)\displaystyle = - \frac{1}{10} \left( x + \frac{16}{x} \right) x>0x > 0이므로 x+16x≥2x×16x=8\displaystyle x + \frac{16}{x} \geq 2 \sqrt{x \times \frac{16}{x}} = 8 (등호는 x=4x = 4일 때 성립한다.) −110(x+16x)≤−45\displaystyle - \frac{1}{10} \left( x + \frac{16}{x} \right) \leq - \frac{4}{5} OA⃗∙OB⃗\mathrm{\vec{OA}} \bullet {\vec{OB}}는 x=4x = 4일 때 최댓값 −45\displaystyle - \frac{4}{5}를 갖는다. x=4x = 4일 때 주어진 식은 4OA⃗+5OB⃗+3OC⃗=0⃗4 \mathrm{\vec{OA}} \mathit{+} 5 \mathrm{\vec{OB}} \mathit{+} 3 \mathrm{\vec{OC}} \mathit{=} {\vec{0}} 13CO⃗=4OA⃗+5OB⃗9\displaystyle \frac{1}{3} \mathrm{\vec{CO}} \mathit{=} \frac{4 \mathrm{\vec{OA}} \mathit{+} 5 \mathrm{\vec{OB}}}{9}

선분 AB\mathrm{AB}를 5:45 : 4로 내분하는 점을 D\mathrm{D}라 하면 OD⃗=4OA⃗+5OB⃗9\displaystyle \mathrm{\vec{OD}} \mathit{=} \frac{4 \mathrm{\vec{OA}} \mathit{+} 5 \mathrm{\vec{OB}}}{9}이다. 13CO⃗=OD⃗\displaystyle \frac{1}{3} \mathrm{\vec{CO}} \mathit{=} \mathrm{\vec{OD}}에서 CO‾:OD‾=3:1\displaystyle \mathrm{\overline{CO}} : {\overline{OD}} = 3 : 1이므로 CD‾:OD‾=4:1\displaystyle \mathrm{\overline{CD}} : {\overline{OD}} = 4 : 1 ……㉠ 두 벡터 OA⃗\mathrm{\vec{OA}}, OB⃗\mathrm{\vec{OB}}가 이루는 각의 크기를 θ\theta라 하면 OA⃗∙OB⃗=∣OA⃗∣∣OB⃗∣cos⁡θ\mathrm{\vec{OA}} \bullet {\vec{OB}} \mathit{=} \left| \mathrm{\vec{OA}} \right| \left| \mathrm{\vec{OB}} \right| \cos \theta에서 cos⁡θ=−45\displaystyle \cos \theta = - \frac{4}{5}이므로 sin⁡θ=35\displaystyle \sin \theta = \frac{3}{5} 삼각형 OAB\mathrm{OAB}의 넓이는 12×OA‾×OB‾×sin⁡θ=310\displaystyle \frac{\mathrm{1}}{2} \times {\overline{OA}} \times {\overline{OB}} \times \sin \theta = \frac{3}{10} ㉠에 의하여 삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 넓이는 65\displaystyle \frac{6}{5} 따라서 50S=6050 S = 60

태그

#벡터#내적#최대최소

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