기하평면벡터수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

단위벡터 종점의 자취

문제

좌표평면 위의 점 A\mathrm{A}가 부등식 y≥14x2+3\displaystyle y \geq \frac{1}{4} x ^{2} + 3이 나타내는 영역에서 움직일 때, 벡터 OB⃗=OA⃗∣OA⃗∣\displaystyle \mathrm{\vec{OB}} = \frac{\vec{OA}}{| \vec{OA} |}의 종점 B\mathrm{B}가 나타내는 도형의 길이는? (단, O\mathrm{O}는 원점이다.) [3점] ①π3\displaystyle \frac{\pi}{3}②2\displaystyle \sqrt{2}③3\displaystyle \sqrt{3}④2π3\displaystyle \frac{2 \pi}{3}⑤33

정답 보기
①

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

OB⃗\vec{OB}는 OA⃗\vec{OA}의 단위벡터이므로 ∣OB⃗∣=1| \vec{OB} | = 1 따라서 중점 BB가 나타내는 도형은 원점에서 y=‘1‘‘4‘x2+3\displaystyle y = \frac{` 1 `}{` 4 `} x ^{2} + 3에 그은 두 접선 사이의 원점을 중심으로 하는 부채꼴의 호이다. 접점 P(α,14α2+3)\displaystyle P \left( \alpha , \frac{1}{4} \alpha ^{2} + 3 \right)이라 하면 y−(14α2+3)=12α(x−α)⋯①\displaystyle y - \left( \frac{1}{4} \alpha ^{2} + 3 \right) = \frac{1}{2} \alpha ( x - \alpha ) \cdots \text{①} ①에 원점 (0,0)( 0 , 0 )을 대입하면 −(14α2+3)=−12α2\displaystyle - \left( \frac{1}{4} \alpha ^{2} + 3 \right) = - \frac{1}{2} \alpha ^{2} 정리하면 α=±23\displaystyle \alpha = \pm 2 \sqrt{3} 따라서 접선의 기울기는 12α=12(±23)=±3\displaystyle \frac{1}{2} \alpha = \frac{1}{2} ( \pm 2 \sqrt{3} ) = \pm \sqrt{3}이므로 부채꼴의 중심각의 크기는 60∘60 ^\circ이다. 따라서 구하는 도형의 길이는 2π⋅1⋅60∘360∘=π3\displaystyle 2 \pi \cdot 1 \cdot \frac{60 ^\circ}{360 ^\circ} = \frac{\pi}{3}

태그

#단위벡터#접선

비슷한 문제 더 보기

기하 문제 모음기하 평면벡터 문제 모음수능 문제 모음고난도 킬러 문제 모음
← 전체 문제 목록으로